Questão 180 #ENEM2016

A permanência de um gerente em uma empresa está condicionada à sua produção no semestre. Essa produção é avaliada pela média do lucro mensal do semestre. Se a média for, no mínimo, de 30 mil reais, o gerente permanece no cargo, caso contrário, ele será despedido. O quadro mostra o lucro mensal, em milhares de reais, dessa empresa, de janeiro a maio do ano em curso.

http://download.inep.gov.br/educacao_basica/enem/provas/2016/CAD_ENEM_2016_DIA_2_05_AMARELO.pdf

Qual deve ser o lucro mínimo da empresa no mês de junho, em milhares de reais, para o gerente continuar no cargo no próximo semestre? 

A) 26

B) 29 

C) 30 

D) 31 

E) 35

RESOLUÇÃO

Para o gerente não ser despedido a média do lucro de 6 meses deve ser 30 mil, ou seja:

$ \frac {jan + fev + mar + abr + mai + jun}{6} = 30$

Substituindo os valores disponíveis na tabela em seu respectivo mês temos :

$ \frac {21 + 35 + 21 + 30 + 38 + jun}{6} = 30$

Como precisamos descobrir o valor de junho basta resolver a igualdade, observe:

$ \frac {21 + 35 + 21 + 30 + 38 + jun}{6} = 30$
$ 21 + 35 + 21 + 30 + 38 + jun = 30*6$
$ 21 + 35 + 21 + 30 + 38 + jun = 30*6$
$145 + jun = 180$
$ jun = 180 -145$
$ jun = 35$

Portanto o lucro minimo em junho deve ser de 35 mil.

Questão 179 #ENEM2016

Para garantir a segurança de um grande evento público que terá início às 4 h da tarde, um organizador precisa monitorar a quantidade de pessoas presentes em cada instante. Para cada 2 000 pessoas se faz necessária a presença de um policial. Além disso, estima-se uma densidade de quatro pessoas por metro quadrado de área de terreno ocupado. Às 10 h da manhã, o organizador verifica que a área de terreno já ocupada equivale a um quadrado com lados medindo 500 m. Porém, nas horas seguintes, espera-se que o público aumente a uma taxa de 120 000 pessoas por hora até o início do evento, quando não será mais permitida a entrada de público. Quantos policiais serão necessários no início do evento para garantir a segurança? 

A) 360 

B) 485 

C) 560 

D) 740 

E) 860 

RESOLUÇÃO

Sabemos que é:

1 policial para 2000 pessoas

4 pessoas por metro quadrado

10hrs temos um quadrado de lados 500m ocupado

e aumenta por hora 120000 pessoas

Seguindo essas informações devemos primeiro calcular a área do quadrado já ocupado e multiplicar por 4, para saber quantas pessoas já tem no evento as 10hrs, logo a área do quadrado é dada por 500*500=250000m², e

250000*4=1000000 pessoas.

Ainda temos que a cada hora chega mais 120000 até o inicio do evento, como são 10hrs e o evento começa as 16hrs, temos que serão 120000*6= 720000 pessoas que ainda chegaram.

Juntando as pessoas presentes (1000000) com as que chegaram (720000), temos que o evento poderá receber 1720000 pessoas.

Por fim, como queremos saber quantos policiais serão necessários para garantir a segurança, então basta dividir 1720000 por 2000, pois a cada 2000 pessoas deve se ter 1 policial.

$\frac {1720000}{2000} = 860 $ policiais

Questão 158 #ENEM2016

O ábaco é um antigo instrumento de cálculo que usa notação posicional de base dez para representar números naturais. Ele pode ser apresentado em vários modelos, um deles é formado por hastes apoiadas em uma base. Cada haste corresponde a uma posição no sistema decimal e nelas são colocadas argolas; a quantidade de argolas na haste representa o algarismo daquela posição. Em geral, colocam-se adesivos abaixo das hastes com os símbolos U, D, C, M, DM e CM que correspondem, respectivamente, a unidades, dezenas, centenas, unidades de milhar, dezenas de milhar e centenas de milhar, sempre começando com a unidade na haste da direita e as demais ordens do número no sistema decimal nas hastes subsequentes (da direita para esquerda), até a haste que se encontra mais à esquerda. 

Entretanto, no ábaco da figura, não seguiram a disposição usual.

http://download.inep.gov.br/educacao_basica/enem/provas/2016/CAD_ENEM_2016_DIA_2_05_AMARELO.pdf

Nessa disposição, o número que está representado na figura é:

A) 46 171. 

B) 147 016. 

C) 171 064. 

D) 460 171. 

E) 610 741.

RESOLUÇÃO)

Indiferente da disposição no ábaco, U ainda representa unidades, logo precisamos ordenar o numero representado na figura. O numero que buscamos é formado CM,DM,M,C,D,U nesta ordem, agora basta identificar o valor de cada um, como segue:

(Lembre-se cada argola vale 1)

CM=4

DM=6

M=0

C=1

D=7

U=1

portanto a resposta é 460171.

CONJUNTO DE DIVISORES

O ensino de divisores de um número acontece intuitivamente no primário, onde sabe-se que um número é divisor de outro, se ele dividir o mesmo com o resto zero.
E assim os alunos passam a se deparam com exercícios diversos para encontrar o conjunto de divisores de um numero, por exemplo, quais são os divisores de 20? O aluno por intuição e tentativa e erro me responde que o conjunto de divisores de 20 é D(20): {1,2,4,5,10,20}. E se o exercício me pedisse os divisores de 600? Seria demasiado tempo e esforço exigido do aluno sem fazer um desenvolvimento cognitivo significante para o mesmo, então pensado nisso esse texto vem explicitar um método fácil e assertivo no que envolve determinar o conjunto de divisores, usando a fatoração.

Vamos seguir com o exemplo, e encontrar o conjunto de divisores de 600:
 1° Passo) Fatorar o 600:

600 |2
300 |2
150 |2
75   |3
25   |5
5     |5
1

2° Passo) Vamos traçar uma outra linha nessa fatoração em acrescentar o 1, conforme a seguir:

           |1
600 |2 |
300 |2 |
150 |2 |
75   |3 |
25   |5 |
5     |5 |
1

Essa nova linha representará os divisores de 600, por isso colocamos o 1 que é o primeiro divisor de todo e qualquer numero.

3° Passo) Multiplicar o 1 pelo primeiro fator de 600, o resultado coloca-se de frente com o fator, veja a representação a seguir:

Agora como o próximo fator ainda é 2, eu não preciso multiplicar o 1 novamente porque vai gerar o mesmo divisor então quando o fator (da fatoração de 600) não muda, vamos multiplicar por ele os novos divisores encontrados. No nosso exemplo o novo divisor encontrado foi 2 então mulplicando obtemos:

           |1
600 |2 |2
300 |2 |4
150 |2 |
75   |3 |
25   |5 |
5     |5 |
1

Como o próximo fator ainda não muda, ou seja, continua sendo o 2, então multiplicamos o 4 por 2, obtendo: 

           |1
600 |2 |2
300 |2 |4
150 |2 |8
75   |3 |
25   |5 |
5     |5 |
1

4° Passo) Observe que agora o nosso fator muda, antes tínhamos o fator 2, e agora é o fator 3, quando o fator muda(se altera), devemos multiplicar todos os divisores já encontrado por esse fator. No nosso exemplo, vamos fazer 1*3, 2*3, 4*3 e 8*3, observe abaixo:

           |1
600 |2 |2
300 |2 |4
150 |2 |8
75   |3 |3, 6, 12, 24
25   |5 |
5     |5 |
1

Devemos repetir o passo 3 e 4 até multiplicarmos por todos os fatores, veja:

o próximo fator do nosso exemplo não será mais o 3, então temos que repetir o processo do 4°passo, multiplicando todos os divisores encontrados por 5.

           |1
600 |2 |2
300 |2 |4
150 |2 |8
75   |3 |3, 6, 12, 24
25   |5 |5, 10, 20, 40, 15, 30, 60, 120
5     |5 |
1

agora o próximo fator do nosso exemplo continua sendo o 5, então temos que repetir o processo do 3°passo, multiplicando só os novos divisores encontrados por 5, ou seja, a ultima linha dos divisores que contém os números 5, 10, 20, 40, 15, 30, 60, 120. Obtendo:

           |1
600 |2 |2
300 |2 |4
150 |2 |8
75   |3 |3, 6, 12, 24
25   |5 |5, 10, 20, 40, 15, 30, 60, 120
5     |5 |25, 50, 100, 200, 75, 150, 300, 600
1

5° Passo) Organizar os divisores obtidos em forma de conjunto de divisores e em ordem crescente.
Portanto os divisores de 600 são D(600)=1,2,3,4,5,6,8,10,12,15,20,24,25,30,40,50,60,75,100,120,150,200,300,600}.


O que acharam desse método? Se gostou compartilhe!
Se você é professor ensine pro seus alunos, facilita o aprendizado e diminui o receio dos alunos com a matéria.
Porque a matemática não é difícil, e sim mal compreendida(ou apresentada).

ENEM 2015 resolvido - matemática #parte12

QUESTÃO 175)

Num campeonato de futebol de 2012, um time sagrou-se
campeão com um total de 77 pontos (P) em 38 jogos,
tendo 22 vitórias (V), 11 empates (E) e 5 derrotas (D).
No critério adotado para esse ano, somente as vitórias e
empates têm pontuações positivas e inteiras. As derrotas
têm valor zero e o valor de cada vitória é maior que o valor
de cada empate.
Um torcedor, considerando a fórmula da soma de
pontos injusta, propôs aos organizadores do campeonato
que, para o ano de 2013, o time derrotado em cada partida
perca 2 pontos, privilegiando os times que perdem menos
ao longo do campeonato. Cada vitória e cada empate
continuariam com a mesma pontuação de 2012.
Qual a expressão que fornece a quantidade de pontos
(P), em função do número de vitórias (V), do número de
empates (E) e do número de derrotas (D), no sistema de
pontuação proposto pelo torcedor para o ano de 2013?

A) P = 3V + E
B) P = 3V - 2D
C) P = 3V + E - D
D) P = 3V + E - 2D
E) P = 3V + E + 2D

RESOLUÇÃO

Observe que em 2012 somente pontuava vitórias e empates, logo somavam esses valores, porém com a proposta de um torcedor, passaram a considerar as derrotas. Mas as derrotas seriam pontuadas negativamente, e em cada derrota o time perderia 2 pontos, logo a parte da derrota seria representada pela expresão -2D ( se o time tiver por exemplo 3 derrota, ele perderá 6 pontos). Agora analisando as alternativas, todas as vitórias valem 3 pontos, então a expressão que fornece a quantidade de pontos é dada por P= 3V + E - 2D. (soma-se os pontos de vitórias e empates, e subtrai os pontos das derrotas).

ENEM 2015 resolvido - matemática #parte11

QUESTÃO 164

O prefeito de uma cidade deseja promover uma festa
popular no parque municipal para comemorar o aniversário
de fundação do município. Sabe-se que esse parque
possui formato retangular, com 120 m de comprimento
por 150 m de largura. Além disso, para segurança das
pessoas presentes no local, a polícia recomenda que
a densidade média, num evento dessa natureza, não
supere quatro pessoas por metro quadrado.
Seguindo as recomendações de segurança estabelecidas
pela polícia, qual é o número máximo de pessoas que
poderão estar presentes na festa?

A) 1 000
B) 4 500
C) 18 000
D) 72 000
E) 120 000

RESOLUÇÃO

Como a recomendação de segurança é 4 pessoas por metro quadrado(m²) temos que calcular quantos metros quadrados tem o parque, logo precisamos calcular a área.
Como o parque é retangular sua área consiste em multiplicar a largura pelo comprimento, assim obtemos:
120*150=18000m²
Portanto o parque tem 18000 m² e cada m² pode ter 4 pessoas, logo multiplicamos 18000*4= 72000, então dentro das recomendações de segurança da policia, poderão estar na festa(no parque) 72000 pessoas.

ENEM 2015 resolvido - matemática #parte10

QUESTÃO 145

Uma barraca de tiro ao alvo de um parque de diversões

dará um prêmio de R$ 20,00 ao participante, cada vez

que ele acertar o alvo. Por outro lado, cada vez que ele

errar o alvo, deverá pagar R$ 10,00. Não há cobrança

inicial para participar do jogo. Um participante deu 80 tiros

e, ao final, recebeu R$100,00.

Qual foi o número de vezes que esse participante acertou

o alvo?

A) 30

B) 36

C) 50

D) 60

E) 64

RESOLUÇÃO 

Precisamos montar uma função que expressa a situação, o valor que ele recebeu foi RS100,00 será  a função V.
Como cada questão certa vale RS 20,00, expressamos como 20C, e as questões erradas valem RS 10,00 então expressamos como 10E, logo
V= 20C - 10E ( menos porque participante perde quando erra)
Como o participante atirou 80 vezes, o número de questões errada será os 80 tiros menos as questões certas, ou seja 80 - C, substituindo E e V obtemos:
100= 20C - 10(80 - C) (agora basta isolar o C para encontrar o número de questões certas)
100= 20C - 800 + 10C
100= 30C - 800
100 + 800 = 30C 
30C= 900
C= $ \frac {900}{30}$
C= 30.

ENEM 2015 resolvido - matemática #parte9

QUESTÃO 147

Sabe-se que o valor cobrado na conta de energia

elétrica correspondente ao uso de cada eletrodoméstico

é diretamente proporcional à potência utilizada pelo

aparelho, medida em watts (W), e também ao tempo

que esse aparelho permanece ligado durante o mês.

Certo consumidor possui um chuveiro elétrico com

potência máxima de 3 600 W e um televisor com potência

máxima de 100 W. Em certo mês, a família do consumidor

utilizou esse chuveiro elétrico durante um tempo total de

5 horas e esse televisor durante um tempo total de 60

horas, ambos em suas potências máximas.

Qual a razão entre o valor cobrado pelo uso do chuveiro e

o valor cobrado pelo uso do televisor?

A) 1 : 1 200

B) 1 : 12

C) 3 : 1

D) 36 : 1

E) 432 : 1

RESOLUÇÃO
Como o chuveiro tem potencia de 3600 e foi usado durante 5 horas no mês, basta multiplicar esses valores para obter seu consumo 3600*5= 18000.
Da mesma forma fazemos com o Televisor, que tinha potência de 100 kw e foi usado durante 60 hrs, assim o consumo no mês foi de 100*60= 6000
Dividindo o gasto do chuveiro pelo do Televisor obtemos
$\frac {18000}{ 6000}$ = $\frac {3}{ 1}$
portanto o proporção foi 3:1.

Regra geral das cônicas

Cônicas são obtidas através da interseção de um plano convenientemente escolhido com uma superfície cônica.

assim temos 4 tipos de cônicas: parábola, circunferência, elipse e hipérbole.

Normalmente temos dois casos quando a cônica depende de x ou quando a cônica depende de y, não variando muito de um para outro, dando para entender facilmente a relação.

OBS.: Em todos os casos $x_0$ e $y_0$ são as coordenadas do centro, exceto na parábola que são as coordenadas do vértice.

1- Parábola

Caso 1: Parábola com eixo de simetria paralelo ao eixo x.
$(x - x_0)^2=4py$

Caso 2: Parábola com eixo de simetria paralelo ao eixo y.
$(y - y_0)^2=4px$

2- Circunferência

$(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 = r^2$

3- Elipse

Caso 1: Focos no eixo x, ou seja, o semi-eixo maior da elipse é paralelo ao eixo x.
$\frac {(x - x_0)^2}{a^2} + \frac{(y - y_0)^2}{b^2} = 1$

Caso 2: Focos no eixo y, ou seja, o semi-eixo maior da elipse é paralelo ao eixo y.
$\frac {(x - x_0)^2}{b^2} + \frac{(y - y_0)^2}{a^2} = 1$

Uma associação para melhor interpretação, é lembrar que o tamanho do semi-eixo maior é representado pela letra "a", assim se a elipse tiver o semi-eixo em relação a x, na regra geral teremos x dividido por a, ou se a elipse tiver o semi-eixo em relação a y, na regra geral teremos y dividido por a.

4- Hipérbole

Caso 1:Focos no eixo x, ou paralelo ao eixo x.
$\frac {(x - x_0)^2}{a^2} - \frac{(y - y_0)^2}{b^2} = 1$

Caso 2:Focos no eixo y, ou paralelo ao eixo y.
$\frac {(y - y_0)^2}{a^2} - \frac{(x - x_0)^2}{b^2} = 1$

Exercícios de derivada por definição (Resolvido)

Galera uma pequena lista só para ressaltar o método de derivar por limite =*

1) Calcule as derivadas abaixo através da definição $ \lim_{\Delta x \to 0}\frac {f(x_0 + \Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} $

${\large a) f(x)=3x+2}$

$f(x_0 + \Delta x) = 3(x_0 + \Delta x)+2 = 3x_0 +3 \Delta x +2$
$f(x_0)=3x_0+2$
Substituindo no limite, temos:

$ \lim_{\Delta x \to 0}\frac {3x_0 +3 \Delta x +2-(3x_0+2)}{\Delta x} $

$ \lim_{\Delta x \to 0}\frac {3x_0 +3 \Delta x +2-3x_0-2}{\Delta x} $

$ \lim_{\Delta x \to 0}\frac {3 \Delta x }{\Delta x} $

$ \lim_{\Delta x \to 0}\frac {3 \Delta x }{ \Delta x} $ = 0



${\large b) f(x)=1-4x^2}$


$f(x_0 + \Delta x) =1-4(x_0 + \Delta x)^2)= 1-4(x_0^2 -2x_0 \Delta x + \Delta x ^2)= 1-4x_0^2 +8x_0 \Delta x -4 \Delta x ^2$

$f(x_0)=1-4x_0^2$

Substituindo no limite, temos:

$ \lim_{\Delta x \to 0}\frac {1-4x_0^2 +8x_0 \Delta x -4 \Delta x ^2 - (1-4x_0^2)}{\Delta x} $

$ \lim_{\Delta x \to 0}\frac {1-4x_0^2 +8x_0 \Delta x -4 \Delta x ^2 -1+4x_0^2}{\Delta x} $

$ \lim_{\Delta x \to 0}\frac {8x_0 \Delta x -4 \Delta x ^2}{\Delta x} $

$ \lim_{\Delta x \to 0}\frac {\Delta x (8x_0 -4 \Delta x)}{\Delta x} $

$ \lim_{\Delta x \to 0} (8x_0 -4 \Delta x) = (8x_0 -4x_0) = 4x_0$



${\large c) f(x) = \frac {1}{x+2}}$

Para facilitar vamos considerar x_0 = x
$f(x+ \Delta x) = \frac {1}{x + \Delta x+2}$

$f(x) = \frac {1}{x+2}$

Substituindo no limite, temos:

$ \lim_{\Delta x \to x}\frac {\frac {1}{x+ \Delta x+2} - \frac {1}{x+2}}{\Delta x} $

$ \lim_{\Delta x \to x}\big( {\frac {1}{x + \Delta x+2} - \frac {1}{x+2}}\big)* \frac {1}{\Delta x} $



${\large d) f(x)= 2x^2-x-1}$

${\large e) f(x) = 4x-3}$

${\large f) f(x) = 5-2x}$

${\large g) f(x) = x^2 - 3}$, no ponto x = 2

${\large h) f(x)= x^2+2x}$, no ponto x = 3

${\large i) f(x) = x^3}$

Numeração de páginas de artigos e tcc no word

"Existe coisa mais irritante do mundo quando você em alto desespero da elaboração do TCC se deparar com uma complicação 'fútil' para você naquele momento de morte súbita que é o próprio TCC'?! Complicado de entender o que eu disse? SIM, CLARO, principalmente pela falta de pontuação. Mas vamos lá =)

Quando estamos redigindo um texto cientifico existem tantas coisinhas e normas que devemos nos preocupar, que entramos em um estado constante de desespero. E para mim o mais desesperador é quando as coisas que parece mais simples, como enumerar as páginas, não dá certo.

Então hoje resolvi explicar como enumerar o Tcc, normalmente contamos as páginas a partir da folha de rosto, deixando a capa e a dedicatória sem contar, e só enumeramos do sumário em diante.

Assim devemos contar manualmente as páginas antes do sumario, para saber qual o número deve iniciar a nossa enumeração.

Suponha que seja 4 (Folha de Rosto, Resumo, Lista de Abreviaturas que não são enumeradas, então o sumario seria a 4º pagina).  Então para enumerar a partir do sumario temos que ‘quebrar’ o documento em duas secções:

Quebra em secções: Clique na última linha da página anterior do sumario, vá na barra de ferramentas no topo, clique em Layout>Quebras>Próxima pagina (como segue na figura abaixo)

Numeração: Na aba de ferramentas clique em Inserir>Número de pagina>Escolha o local da numeração.

Depois disso vai aparecer a seguinte tela, observe que uma pagina ta escrito Secção 1, e na outra secção 2, dessa forma você pode numerar ou não cada secção de acordo a sua necessidade. ATENÇÃO: Para não contar automaticamente todas as paginas o botão Vincular ao Anterior deve ser desmarcado.

Por fim para iniciar sua numeração do 4, clique em 

Número de pagina>Formatar Número da pagina>Iniciar em(escolha o número de acordo o seu trabalho)

Espero ter ajudado, foi uma explicação bem corrida, e se tiverem duvidas relacionada deixem seus comentários. =P

Lista de Derivada Resolvida

Primeiramente vamos relembrar algumas regras de derivação,

1- $(f + g)'=f ' + g'$
2- $(c*f)' = c * f '$
3- $(f *g)' = f ' * g + f * g' $(regra do produto)
4- ($\frac {f}{g}$)' = $\frac{f '*g - f * g'}{(g)^2}$ (regra do quociente)
5- $(f(g(x)))'= f '(g(x))*g'(x)$ (regra da cadeia)


Calcule as derivadas das expressões abaixo, usando as formulas de derivação:

1- ${\large {\bf y= (x²-a²)^5}}$

Usa se a regra da cadeia(composta)
$\frac{dy}{dx}= 5(x²-a²)^4(2x)$
$\frac{dy}{dx}= 10x(x²-a²)^4$

2-${\large {\bf y=(\frac{a-x}{a+x})} }$

Usa se a regra do quociente temos,
$\frac{dy}{dx}= \frac{-1(a+x)-(a-x)1}{(a+x)^2}$
$\frac{dy}{dx}= \frac{-1a-1x-1a+1x}{(a+x)^2}$
$\frac{dy}{dx}= \frac{-2a}{(a+x)^2}$

3)${\large {\bf y=(\frac{a-x}{a+x})^3 }}$

pela propriedade de potencia podemos reescrever y como:
$y=\frac{(a-x)^3}{(a+x)^3} $
Agora usamos a regra do quociente
$\frac{dy}{dx}= \frac{3(a-x)^2(-1)(a+x)^3 - (a-x)^3(3)(a+x)^2(1) }{((a+x)^3)^2}$
$\frac{dy}{dx}= \frac{-3(a-x)^2(a+x)^3 - 3(a-x)^3(a+x)^2 }{(a+x)^6}$
colocamos em evidencia $(a-x)^2(a+x)^2$ no denominador, temos:
$\frac{dy}{dx}= \frac{(a-x)^2(a+x)^2(-3(a+x) - 3(a-x)}{(a+x)^6}$
$\frac{dy}{dx}= \frac{(a-x)^2(-3(a+x) - 3(a-x)}{(a+x)^4}$
$\frac{dy}{dx}= \frac{(a-x)^2(-3a-3x- 3a+3x)}{(a+x)^4}$
$\frac{dy}{dx}= \frac{(a-x)^2(-3a-3a)}{(a+x)^4}$
$\frac{dy}{dx}= \frac{-6a(a-x)^2}{(a+x)^4}$

4)${\large {\bf y=\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}} }$

Pelas propriedades de radiciação temos que
$y=\frac{\sqrt{1+x}}{\sqrt{1-x}} $

Assim ao aplicarmos a regra do quociente para derivação obtemos
(I)$\frac{dy}{dx}=\frac{(\sqrt{1+x})'(\sqrt{1-x})-(\sqrt{1-x})'(\sqrt{1+x})}{(\sqrt{1-x})^2} $
Para facilitar a desenvoltura do exercício iremos resolver as derivadas $(\sqrt{1+x})'$ e $(\sqrt{1-x})'$ separadamente.

$(\sqrt{1+x})'=((1+x)^\frac{1}{2})'= \frac{1}{2}(1+x)^\frac{-1}{2}(1)= \frac{1}{2(1+x)^\frac{1}{2}}=\frac{1}{2* \sqrt{(1+x)}}$

$(\sqrt{1-x})'=((1-x)^\frac{1}{2})'= \frac{1}{2}(1+x)^\frac{-1}{2}(-1)= \frac{-1}{2(1+x)^\frac{1}{2}}=\frac{-1}{2* \sqrt{(1+x)}}$

agora que sabemos o resultado de cada derivadas vamos substitui-las na derivada de y (I)
$\frac{dy}{dx}=\frac{(\sqrt{1+x})'(\sqrt{1-x})-(\sqrt{1-x})'(\sqrt{1+x})}{(\sqrt{1-x})^2} $
$\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{1}{2 \sqrt{1+x}}(\sqrt{1-x})-\frac{(-1)}{2 \sqrt{1+x}}(\sqrt{1+x})}{(\sqrt{1-x})^2} $
$\frac{dy}{dx}=\Big[\frac{\sqrt{1-x}}{2 \sqrt{1+x}}-\frac{(-\sqrt{1+x})}{2 \sqrt{1+x}}\Big]*\frac{1}{(\sqrt{1-x})^2} $
$\frac{dy}{dx}=\Big[\frac{\sqrt{1-x}}{2 \sqrt{1+x}}+\frac{\sqrt{1+x}}{2 \sqrt{1+x}}\Big]*\frac{1}{(\sqrt{1-x})^2} $
$\frac{dy}{dx}=\frac{\sqrt{1-x}}{2 \sqrt{1+x}(\sqrt{1-x})^2}+\frac{\sqrt{1+x}}{2 (\sqrt{1+x})^3}$
$\frac{dy}{dx}=\frac{(\sqrt{1-x})^2 + (\sqrt{1+x})^2}{2 \sqrt{1+x}(\sqrt{1-x})^3}$
$\frac{dy}{dx}=\frac{1-x + 1+x}{2 \sqrt{1+x}(\sqrt{1-x})(\sqrt{1-x})^2}$
$\frac{dy}{dx}=\frac{2}{2 \sqrt{1+x}\sqrt{1-x}(1-x)}$
$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\Big(\sqrt{(1+x)(1-x)}\Big)(1-x)}$
$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{(1-x)\sqrt{1-x^2}}$

${\large {\bf 5) f(r)= \pi r^2}}$

$\frac {df}{dr}= 2 \pi r$

${\large {\bf 6) f(x)= 14 - \frac {x^-³}{2}}}$

$\frac {df}{dx}= - (-3) \frac {x^-4}{2}$
$\frac {df}{dx}= \frac {3}{2x^4}$

Demonstração do teorema do valor intermediário

Teorema 5(do Valor Intermediário): Seja f:[a,b]→ R contínua em (a,b), tal que, f(a)<d<f(b), então ∃ c ∈(a,b) tal que f(c)=d. 

PROVA:

Defina os conjuntos:
A={ x ∈ [a,b]; f(x) ≤ d} e,
B={ x ∈ [a,b]; f(x) ≥ d}

Observe que A e B são fechados. Veja ainda que 

A∪B={ x ∈ [a,b]; f(x) ≤ d}∪{ x ∈ [a,b]; f(x) ≥ d}
= {x ∈ [a,b]; f(x) ≤ d ou f(x) ≥ d}
= [a,b]

Assim temos

Caso 1: A∩B  ≠ Ø

Se A∩B  ≠ Ø, então ∃ x ∈ A∩B, daí x ∈ A e x ∈ B
-Se x ∈ A ⇒ f(x) ≤ d 
-Se x ∈ B ⇒ d ≤ f(x)

logo d ≤ f(x) ≤ d ⇒ f(x)=d
fazendo x=c, então f(c)=d

Caso 2: A∩B = Ø

Se A∩B = Ø e [a,b] = A∪B
logo [a,b] é uma cisão com A∩B=Ø, isto é, [a,b] é uma cisão não trivial, mas todo intervalo [a,b] ⊂ R admite somente a cisão trivial.
O QUE É UM ABSURDO! 

O que implica A∩B  ≠ Ø e pelo caso 1, ∃ c ∈ (a,b) tal que f(c)=d

APLICAÇÃO: Mostre que f(x)=x³+1, admite raiz real.
uma raiz da função será o numero c, se f(c)=0
Veja que f(0) = 1 > 0 e f(-2) = -7 < 0
Assim temos f(-2) < 0 < f(0), [-2,0]
Pelo teorema do valor intermediário, ∃ c ∈ [-2,0] tal que
f(c)=0
c³+1=0
c³= -1
tirando raiz cubica em ambos lados temos que
c= -1

Continuidade (FUNÇÃO)

Def.1: Seja X ⊆ R um conjunto, f: x → R uma função e a ∈ X'. Dizemos que a função f é contínua no ponto a se para todo ε>0 dado arbitrariamente, existe δ > 0, tal que, ∀ x ∈ X, |x - a|<δ →|f(x) - f(a)|<ε.

Observação: Dizer que f é descontinua em a é exibir um ε>0, tal que ∀ δ > 0, ∀ x ∈ X, |x - a|<δ→|f(x) - f(a)|>ε.

Teorema 1: Sejam f,g: x → R funções contínuas em a ∈ X, com f(a)<g(a). Então, existe  δ > 0, tal que ∀ x ∈ X, |x - a|<δ → f(x) < g(x).(demonstração)

Corolário 1: Sejam f,g: x → R funções contínuas em a ∈ X. Então, se f(a)≠0, existe δ > 0, tal que ∀ x ∈ X, |x - a|<δ → f(x)≠0.(demonstração)

Exemplo 1: Mostre que f(x)=3x+7 é contínua no ponto a=4.

Queremos mostrar que ∀ε>0, ∃ δ > 0, tal que ∀ x ∈ X, |x - a|<δ → |f(x) - f(a)|<ε.
Mas f(a) = 3(4)+7 = 12+7 = 19
logo |x - 4| < δ ⇒ |3x+7 - 19| < ε

|3x - 12| < ε
|3(x-4)| < ε
|3||(x-4)|< ε
|(x-4)|< ε/3

Tomando δ=ε/3, logo f(x) é contínua no a=4.

Exemplo 2: Mostre que f(x)= x²-5x+6 é contínua no ponto a=1

Queremos mostrar que ∀ε>0, ∃ δ > 0, tal que ∀ x ∈ X, |x - a|<δ → |f(x) - f(a)|<ε.
Mas f(a) = f(1)= 1²-5(1)+6 = 2
daí |x - 1| < δ ⇒ |x²-5x+6 - 2| < ε
= |x²-5x+6 - 2| < ε
=  |x²-5x+4| < ε
=  |(x-4)(x-1)| < ε
=  |(x-4)||(x-1)| < ε
≤ (|x|+4) |(x-1)| < ε
< (2+4) |(x-1)| < ε
= 6|(x-1)| < ε
=|(x-1)| < ε/6

Tomando δ=ε/6 ⇒ |x-1| < δ, logo f(x) é contínua no a=4.

Teorema 2: Sejam f: x → R função, afim de que f seja contínua no ponto a ∈ X é necessário e suficiente que para toda sequencia de pontos (xn) com lim xn = a, tem se limx→a f(xn)=f(a).

Teorema 3: Propriedades
Sejam Sejam f,g: x → R funções contínuas em a ∈ X', tais que limx→a f(x)=f(a) e limx→a g(x)=g(a), então:

1) limx→a (f(x) ± g (x)) = f(a) ± g (a)

2) limx→a f(x)*g(x) = f(a)*g(a)

3) limx→a f(x)/g(x) = f(a)/g(a) ; onde g(a)≠ 0

Teorema 4(Continuidade da função composta): Considere f: x → R uma função contínua no ponto a ∈ X e  g: y → R uma função contínua no ponto b=f(a) e seja y=f(y). Então a composta gof: x → R é contínua em a ∈ X.(demonstração)

Teorema 5(do Valor Intermediário): Seja f:[a,b]→ R contínua em (a,b), tal que, f(a)<d<f(b), então ∃ c ∈(a,b) tal que f(c)=d. (demonstração)

APLICAÇÃO: Mostre que f(x)=x³+1, admite raiz real.
uma raiz da função será o numero c, se f(c)=0
Veja que f(0) = 1 > 0 e f(-2) = -7 < 0
Assim temos f(-2) < 0 < f(0), [-2,0]
Pelo teorema do valor intermediário, ∃ c ∈ [-2,0] tal que
f(c)=0
c³+1=0
c³= -1
tirando raiz cubica em ambos lados temos que
c= -1

Valor Esperado

Seja x uma variável aleatória unidimensional. Seu valor esperado é um número real, denotado por E(x) e calculado por:


→ E(x) = ∑ xi*P(xi) , 1≤ i ≤ ∞ (variável discreta)

→ E(x) = ∫ x*f(x) dx , -∞ ≤ I ≤ +∞ (variável continua)

Exemplo: Consideremos um lançamento de um dado. Calcule E(x):

xi	1	2	3	4	5	6
P(xi)	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6

E(x) = ∑ xi*P(xi) , 1≤ i ≤ ∞

E(x) = 1*1/6 +2*1/6 +3*1/6 +4*1/6 +5*1/6 +6*1/6 

E(x) = 1/6*(1+2+3+4+5+6)

E(x) = 1/6*(21)

E(x) = 3,5

Exemplo: Seja x uma variável aleatória com f.d.p. f(x)=1, para 0≤x≤1 e f(x)=0 para x<0 e x>1. Encontre seu valor esperado.

E(x) = ∫ x*f(x) dx , -∞ ≤ I ≤ +∞ 

Teorema da Permanência do Sinal (Limites)

Teorema : Seja f, g: x ≤ R → R e a ∈ X com limite de f(x) sendo L e limite de g(x) sendo M. Se L < M, então ∀ x ∈ X, ∃ δ > 0, tal que 0 < |x - a| < δ ↔ f(x) < g(x).

DEMONSTRAÇÃO

Defina K=(M+L)/2 e considere ε = M - K = K - L

Como lim f = L, ∀ ε > 0, ∃ δ > 0, ∀ x ∈ X, tal que 0 < |x - a| < δ → |f - L| < ε ↔ L - ε < f(x) < L + ε. 

Como lim g= M, ∀ ε > 0, ∃ δ >0, ∀x ∈ X, tal que 0 < |x - a| < δ → |g - M| < ε ↔ M - ε < g(x) < M+ ε 

Daí
 ε= M - K → K= M - ε → K < g(x) 
 ε= K - L → K= ε + L → K >  f(x)

Então f(x) < K < g(x) 

∴f(x) < g(x).

COROLÁRIO 1: Se limite de f(x), quando x tende à a for L, então ∃ δ >0, tal que ∀x ∈ X, 0< |x - a| < δ → f(x) < M.

COROLÁRIO 2: Sejam f,g: x → R  e a ∈ X'. Se o limite de f(x), quando x tende à a, for L e o limite de g(x), quando x tende à a for M, e ainda f(x)<g(x) então L ≤ M.

prova: suponha, por absurdo, que L>M, isto é, M<1, daí pelo teorema da permanência do sinal, g(x)<f(x), o que é impossível, assim L ≤  M

Teorema do Sanduíche (limites)

Sejam f, g e h: x → R tais que f(x) ≤ h(x) ≤ g(x), ∀ x ∈ X e a ∈ X'. se limite de f for L e limite de g for L, então limite de h também será L.

DEMONSTRAÇÃO

Se lim f = L, então ∀ ε > 0, ∃ δ > 0, tal que 0 < |x - a| < δ ↔ |f - L| < ε  ↔  L - ε < f < L + ε.
Se lim g = L, então ∀ ε > 0, ∃ δ > 0, tal que 0 < |x - a| < δ ↔ |g - L| < ε  ↔ L - ε < g < L + ε.

Dai,  f(x)  ≤  h(x) ≤  g(x)
 L - ε <  f(x)  ≤ h(x)  ≤  g(x) < L + ε.
L - ε <   h(x)  < L + ε  ↔ |h - L| < ε

∴ lim h(x) = L 

Teorema da Unicidade (limites)

Seja f: X → R uma função e a ∈ X'. Se

Então L = M.

Demonstração:

-Se limite de f(x) é igual a L, então para todo ε > 0, existe um δ > 0, tal que  ∀ x ∈ X,  0<|x-a|<δ ↔ |f(x) - L| < ε/2.
e
-Se limite de f(x) é igual a M, então para todo ε > 0, existe um δ > 0, tal que  ∀ x ∈ X,  0<|x-a|<δ ↔ |f(x) - L| < ε/2.

Veja que

|L - M|= |L - M +f(x)-f(x)| =
= |L -f(x)+f(x)- M |=
= |-(-L +f(x))+f(x)- M |=
= |-(f(x)-L)+(f(x)- M)|=
≤ |(f(x)-L)|+|(f(x)- M)|< ε/2+ε/2 < ε.

Isto é, Lim L = M, ou seja L=M.