Teorema da Unicidade (limites)

Seja f: X → R uma função e a ∈ X'. Se

Então L = M.

Demonstração:

-Se limite de f(x) é igual a L, então para todo ε > 0, existe um δ > 0, tal que  ∀ x ∈ X,  0<|x-a|<δ ↔ |f(x) - L| < ε/2.
e
-Se limite de f(x) é igual a M, então para todo ε > 0, existe um δ > 0, tal que  ∀ x ∈ X,  0<|x-a|<δ ↔ |f(x) - L| < ε/2.

Veja que

|L - M|= |L - M +f(x)-f(x)| =
= |L -f(x)+f(x)- M |=
= |-(-L +f(x))+f(x)- M |=
= |-(f(x)-L)+(f(x)- M)|=
≤ |(f(x)-L)|+|(f(x)- M)|< ε/2+ε/2 < ε.

Isto é, Lim L = M, ou seja L=M.