Demonstração do teorema do valor intermediário

Teorema 5(do Valor Intermediário): Seja f:[a,b]→ R contínua em (a,b), tal que, f(a)<d<f(b), então ∃ c ∈(a,b) tal que f(c)=d. 

PROVA:

Defina os conjuntos:
A={ x ∈ [a,b]; f(x) ≤ d} e,
B={ x ∈ [a,b]; f(x) ≥ d}

Observe que A e B são fechados. Veja ainda que 

A∪B={ x ∈ [a,b]; f(x) ≤ d}∪{ x ∈ [a,b]; f(x) ≥ d}
= {x ∈ [a,b]; f(x) ≤ d ou f(x) ≥ d}
= [a,b]

Assim temos

Caso 1: A∩B  ≠ Ø

Se A∩B  ≠ Ø, então ∃ x ∈ A∩B, daí x ∈ A e x ∈ B
-Se x ∈ A ⇒ f(x) ≤ d 
-Se x ∈ B ⇒ d ≤ f(x)

logo d ≤ f(x) ≤ d ⇒ f(x)=d
fazendo x=c, então f(c)=d

Caso 2: A∩B = Ø

Se A∩B = Ø e [a,b] = A∪B
logo [a,b] é uma cisão com A∩B=Ø, isto é, [a,b] é uma cisão não trivial, mas todo intervalo [a,b] ⊂ R admite somente a cisão trivial.
O QUE É UM ABSURDO! 

O que implica A∩B  ≠ Ø e pelo caso 1, ∃ c ∈ (a,b) tal que f(c)=d

APLICAÇÃO: Mostre que f(x)=x³+1, admite raiz real.
uma raiz da função será o numero c, se f(c)=0
Veja que f(0) = 1 > 0 e f(-2) = -7 < 0
Assim temos f(-2) < 0 < f(0), [-2,0]
Pelo teorema do valor intermediário, ∃ c ∈ [-2,0] tal que
f(c)=0
c³+1=0
c³= -1
tirando raiz cubica em ambos lados temos que
c= -1