Lista de Derivada Resolvida

Primeiramente vamos relembrar algumas regras de derivação,

1- $(f + g)'=f ' + g'$
2- $(c*f)' = c * f '$
3- $(f *g)' = f ' * g + f * g'$(regra do produto)
4- ($\frac {f}{g}$)' = $\frac{f '*g - f * g'}{(g)^2}$ (regra do quociente)
5- $(f(g(x)))'= f '(g(x))*g'(x)$ (regra da cadeia)


Calcule as derivadas das expressões abaixo, usando as formulas de derivação:

1- ${\large {\bf y= (x²-a²)^5}}$

Usa se a regra da cadeia(composta)
$\frac{dy}{dx}= 5(x²-a²)^4(2x)$
$\frac{dy}{dx}= 10x(x²-a²)^4$

2-${\large {\bf y=(\frac{a-x}{a+x})} }$

Usa se a regra do quociente temos,
$\frac{dy}{dx}= \frac{-1(a+x)-(a-x)1}{(a+x)^2}$
$\frac{dy}{dx}= \frac{-1a-1x-1a+1x}{(a+x)^2}$
$\frac{dy}{dx}= \frac{-2a}{(a+x)^2}$

3)${\large {\bf y=(\frac{a-x}{a+x})^3 }}$

pela propriedade de potencia podemos reescrever y como:
$y=\frac{(a-x)^3}{(a+x)^3}$
Agora usamos a regra do quociente
$\frac{dy}{dx}= \frac{3(a-x)^2(-1)(a+x)^3 - (a-x)^3(3)(a+x)^2(1) }{((a+x)^3)^2}$
$\frac{dy}{dx}= \frac{-3(a-x)^2(a+x)^3 - 3(a-x)^3(a+x)^2 }{(a+x)^6}$
colocamos em evidencia $(a-x)^2(a+x)^2$ no denominador, temos:
$\frac{dy}{dx}= \frac{(a-x)^2(a+x)^2(-3(a+x) - 3(a-x)}{(a+x)^6}$
$\frac{dy}{dx}= \frac{(a-x)^2(-3(a+x) - 3(a-x)}{(a+x)^4}$
$\frac{dy}{dx}= \frac{(a-x)^2(-3a-3x- 3a+3x)}{(a+x)^4}$
$\frac{dy}{dx}= \frac{(a-x)^2(-3a-3a)}{(a+x)^4}$
$\frac{dy}{dx}= \frac{-6a(a-x)^2}{(a+x)^4}$

4)${\large {\bf y=\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}} }$

Pelas propriedades de radiciação temos que
$y=\frac{\sqrt{1+x}}{\sqrt{1-x}}$

Assim ao aplicarmos a regra do quociente para derivação obtemos
(I)$\frac{dy}{dx}=\frac{(\sqrt{1+x})'(\sqrt{1-x})-(\sqrt{1-x})'(\sqrt{1+x})}{(\sqrt{1-x})^2}$
Para facilitar a desenvoltura do exercício iremos resolver as derivadas $(\sqrt{1+x})'$ e $(\sqrt{1-x})'$ separadamente.

$(\sqrt{1+x})'=((1+x)^\frac{1}{2})'= \frac{1}{2}(1+x)^\frac{-1}{2}(1)= \frac{1}{2(1+x)^\frac{1}{2}}=\frac{1}{2* \sqrt{(1+x)}}$

$(\sqrt{1-x})'=((1-x)^\frac{1}{2})'= \frac{1}{2}(1+x)^\frac{-1}{2}(-1)= \frac{-1}{2(1+x)^\frac{1}{2}}=\frac{-1}{2* \sqrt{(1+x)}}$

agora que sabemos o resultado de cada derivadas vamos substitui-las na derivada de y (I)
$\frac{dy}{dx}=\frac{(\sqrt{1+x})'(\sqrt{1-x})-(\sqrt{1-x})'(\sqrt{1+x})}{(\sqrt{1-x})^2}$
$\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{1}{2 \sqrt{1+x}}(\sqrt{1-x})-\frac{(-1)}{2 \sqrt{1+x}}(\sqrt{1+x})}{(\sqrt{1-x})^2}$
$\frac{dy}{dx}=\Big[\frac{\sqrt{1-x}}{2 \sqrt{1+x}}-\frac{(-\sqrt{1+x})}{2 \sqrt{1+x}}\Big]*\frac{1}{(\sqrt{1-x})^2}$
$\frac{dy}{dx}=\Big[\frac{\sqrt{1-x}}{2 \sqrt{1+x}}+\frac{\sqrt{1+x}}{2 \sqrt{1+x}}\Big]*\frac{1}{(\sqrt{1-x})^2}$
$\frac{dy}{dx}=\frac{\sqrt{1-x}}{2 \sqrt{1+x}(\sqrt{1-x})^2}+\frac{\sqrt{1+x}}{2 (\sqrt{1+x})^3}$
$\frac{dy}{dx}=\frac{(\sqrt{1-x})^2 + (\sqrt{1+x})^2}{2 \sqrt{1+x}(\sqrt{1-x})^3}$
$\frac{dy}{dx}=\frac{1-x + 1+x}{2 \sqrt{1+x}(\sqrt{1-x})(\sqrt{1-x})^2}$
$\frac{dy}{dx}=\frac{2}{2 \sqrt{1+x}\sqrt{1-x}(1-x)}$
$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\Big(\sqrt{(1+x)(1-x)}\Big)(1-x)}$
$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{(1-x)\sqrt{1-x^2}}$

${\large {\bf 5) f(r)= \pi r^2}}$

$\frac {df}{dr}= 2 \pi r$

${\large {\bf 6) f(x)= 14 - \frac {x^-³}{2}}}$

$\frac {df}{dx}= - (-3) \frac {x^-4}{2}$
$\frac {df}{dx}= \frac {3}{2x^4}$