Continuidade (FUNÇÃO)

Def.1: Seja X ⊆ R um conjunto, f: x → R uma função e a ∈ X'. Dizemos que a função f é contínua no ponto a se para todo ε>0 dado arbitrariamente, existe δ > 0, tal que, ∀ x ∈ X, |x - a|<δ →|f(x) - f(a)|<ε.

Observação: Dizer que f é descontinua em a é exibir um ε>0, tal que ∀ δ > 0, ∀ x ∈ X, |x - a|<δ→|f(x) - f(a)|>ε.

Teorema 1: Sejam f,g: x → R funções contínuas em a ∈ X, com f(a)<g(a). Então, existe  δ > 0, tal que ∀ x ∈ X, |x - a|<δ → f(x) < g(x).(demonstração)

Corolário 1: Sejam f,g: x → R funções contínuas em a ∈ X. Então, se f(a)≠0, existe δ > 0, tal que ∀ x ∈ X, |x - a|<δ → f(x)≠0.(demonstração)

Exemplo 1: Mostre que f(x)=3x+7 é contínua no ponto a=4.

Queremos mostrar que ∀ε>0, ∃ δ > 0, tal que ∀ x ∈ X, |x - a|<δ → |f(x) - f(a)|<ε.
Mas f(a) = 3(4)+7 = 12+7 = 19
logo |x - 4| < δ ⇒ |3x+7 - 19| < ε

|3x - 12| < ε
|3(x-4)| < ε
|3||(x-4)|< ε
|(x-4)|< ε/3

Tomando δ=ε/3, logo f(x) é contínua no a=4.

Exemplo 2: Mostre que f(x)= x²-5x+6 é contínua no ponto a=1

Queremos mostrar que ∀ε>0, ∃ δ > 0, tal que ∀ x ∈ X, |x - a|<δ → |f(x) - f(a)|<ε.
Mas f(a) = f(1)= 1²-5(1)+6 = 2
daí |x - 1| < δ ⇒ |x²-5x+6 - 2| < ε
= |x²-5x+6 - 2| < ε
=  |x²-5x+4| < ε
=  |(x-4)(x-1)| < ε
=  |(x-4)||(x-1)| < ε
≤ (|x|+4) |(x-1)| < ε
< (2+4) |(x-1)| < ε
= 6|(x-1)| < ε
=|(x-1)| < ε/6

Tomando δ=ε/6 ⇒ |x-1| < δ, logo f(x) é contínua no a=4.

Teorema 2: Sejam f: x → R função, afim de que f seja contínua no ponto a ∈ X é necessário e suficiente que para toda sequencia de pontos (xn) com lim xn = a, tem se limx→a f(xn)=f(a).

Teorema 3: Propriedades
Sejam Sejam f,g: x → R funções contínuas em a ∈ X', tais que limx→a f(x)=f(a) e limx→a g(x)=g(a), então:

1) limx→a (f(x) ± g (x)) = f(a) ± g (a)

2) limx→a f(x)*g(x) = f(a)*g(a)

3) limx→a f(x)/g(x) = f(a)/g(a) ; onde g(a)≠ 0

Teorema 4(Continuidade da função composta): Considere f: x → R uma função contínua no ponto a ∈ X e  g: y → R uma função contínua no ponto b=f(a) e seja y=f(y). Então a composta gof: x → R é contínua em a ∈ X.(demonstração)

Teorema 5(do Valor Intermediário): Seja f:[a,b]→ R contínua em (a,b), tal que, f(a)<d<f(b), então ∃ c ∈(a,b) tal que f(c)=d. (demonstração)

APLICAÇÃO: Mostre que f(x)=x³+1, admite raiz real.
uma raiz da função será o numero c, se f(c)=0
Veja que f(0) = 1 > 0 e f(-2) = -7 < 0
Assim temos f(-2) < 0 < f(0), [-2,0]
Pelo teorema do valor intermediário, ∃ c ∈ [-2,0] tal que
f(c)=0
c³+1=0
c³= -1
tirando raiz cubica em ambos lados temos que
c= -1