Galera uma pequena lista só para ressaltar o método de derivar por limite =*
1) Calcule as derivadas abaixo através da definição $ \lim_{\Delta x \to 0}\frac {f(x_0 + \Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} $
${\large a) f(x)=3x+2}$
$f(x_0 + \Delta x) = 3(x_0 + \Delta x)+2 = 3x_0 +3 \Delta x +2$
$f(x_0)=3x_0+2$
Substituindo no limite, temos:
$ \lim_{\Delta x \to 0}\frac {3x_0 +3 \Delta x +2-(3x_0+2)}{\Delta x} $
$ \lim_{\Delta x \to 0}\frac {3x_0 +3 \Delta x +2-3x_0-2}{\Delta x} $
$ \lim_{\Delta x \to 0}\frac {3 \Delta x }{\Delta x} $
$ \lim_{\Delta x \to 0}\frac {3 \Delta x }{ \Delta x} $ = 0
${\large b) f(x)=1-4x^2}$
$f(x_0 + \Delta x) =1-4(x_0 + \Delta x)^2)= 1-4(x_0^2 -2x_0 \Delta x + \Delta x ^2)= 1-4x_0^2 +8x_0 \Delta x -4 \Delta x ^2$
$f(x_0)=1-4x_0^2$
Substituindo no limite, temos:
$ \lim_{\Delta x \to 0}\frac {1-4x_0^2 +8x_0 \Delta x -4 \Delta x ^2 - (1-4x_0^2)}{\Delta x} $
$ \lim_{\Delta x \to 0}\frac {1-4x_0^2 +8x_0 \Delta x -4 \Delta x ^2 -1+4x_0^2}{\Delta x} $
$ \lim_{\Delta x \to 0}\frac {8x_0 \Delta x -4 \Delta x ^2}{\Delta x} $
$ \lim_{\Delta x \to 0}\frac {\Delta x (8x_0 -4 \Delta x)}{\Delta x} $
$ \lim_{\Delta x \to 0} (8x_0 -4 \Delta x) = (8x_0 -4x_0) = 4x_0$
${\large c) f(x) = \frac {1}{x+2}}$
Para facilitar vamos considerar x_0 = x
$f(x+ \Delta x) = \frac {1}{x + \Delta x+2}$
$f(x) = \frac {1}{x+2}$
Substituindo no limite, temos:
$ \lim_{\Delta x \to x}\frac {\frac {1}{x+ \Delta x+2} - \frac {1}{x+2}}{\Delta x} $
$ \lim_{\Delta x \to x}\big( {\frac {1}{x + \Delta x+2} - \frac {1}{x+2}}\big)* \frac {1}{\Delta x} $
${\large d) f(x)= 2x^2-x-1}$
${\large e) f(x) = 4x-3}$
${\large f) f(x) = 5-2x}$
${\large g) f(x) = x^2 - 3}$, no ponto x = 2
${\large h) f(x)= x^2+2x}$, no ponto x = 3
${\large i) f(x) = x^3}$
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Lista de Derivada Resolvida
Primeiramente vamos relembrar algumas regras de derivação,
1- $(f + g)'=f ' + g'$
2- $(c*f)' = c * f '$
3- $(f *g)' = f ' * g + f * g' $(regra do produto)
4- ($\frac {f}{g}$)' = $\frac{f '*g - f * g'}{(g)^2}$ (regra do quociente)
5- $(f(g(x)))'= f '(g(x))*g'(x)$ (regra da cadeia)
Calcule as derivadas das expressões abaixo, usando as formulas de derivação:
1- ${\large {\bf y= (x²-a²)^5}}$
Usa se a regra da cadeia(composta)
$\frac{dy}{dx}= 5(x²-a²)^4(2x)$
$\frac{dy}{dx}= 10x(x²-a²)^4$
2-${\large {\bf y=(\frac{a-x}{a+x})} }$
Usa se a regra do quociente temos,
$\frac{dy}{dx}= \frac{-1(a+x)-(a-x)1}{(a+x)^2}$
$\frac{dy}{dx}= \frac{-1a-1x-1a+1x}{(a+x)^2}$
$\frac{dy}{dx}= \frac{-2a}{(a+x)^2}$
3)${\large {\bf y=(\frac{a-x}{a+x})^3 }}$
pela propriedade de potencia podemos reescrever y como:
$y=\frac{(a-x)^3}{(a+x)^3} $
Agora usamos a regra do quociente
$\frac{dy}{dx}= \frac{3(a-x)^2(-1)(a+x)^3 - (a-x)^3(3)(a+x)^2(1) }{((a+x)^3)^2}$
$\frac{dy}{dx}= \frac{-3(a-x)^2(a+x)^3 - 3(a-x)^3(a+x)^2 }{(a+x)^6}$
colocamos em evidencia $(a-x)^2(a+x)^2$ no denominador, temos:
$\frac{dy}{dx}= \frac{(a-x)^2(a+x)^2(-3(a+x) - 3(a-x)}{(a+x)^6}$
$\frac{dy}{dx}= \frac{(a-x)^2(-3(a+x) - 3(a-x)}{(a+x)^4}$
$\frac{dy}{dx}= \frac{(a-x)^2(-3a-3x- 3a+3x)}{(a+x)^4}$
$\frac{dy}{dx}= \frac{(a-x)^2(-3a-3a)}{(a+x)^4}$
$\frac{dy}{dx}= \frac{-6a(a-x)^2}{(a+x)^4}$
4)${\large {\bf y=\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}} }$
Pelas propriedades de radiciação temos que
$y=\frac{\sqrt{1+x}}{\sqrt{1-x}} $
Assim ao aplicarmos a regra do quociente para derivação obtemos
(I)$\frac{dy}{dx}=\frac{(\sqrt{1+x})'(\sqrt{1-x})-(\sqrt{1-x})'(\sqrt{1+x})}{(\sqrt{1-x})^2} $
Para facilitar a desenvoltura do exercício iremos resolver as derivadas $(\sqrt{1+x})'$ e $(\sqrt{1-x})'$ separadamente.
$(\sqrt{1+x})'=((1+x)^\frac{1}{2})'= \frac{1}{2}(1+x)^\frac{-1}{2}(1)= \frac{1}{2(1+x)^\frac{1}{2}}=\frac{1}{2* \sqrt{(1+x)}}$
$(\sqrt{1-x})'=((1-x)^\frac{1}{2})'= \frac{1}{2}(1+x)^\frac{-1}{2}(-1)= \frac{-1}{2(1+x)^\frac{1}{2}}=\frac{-1}{2* \sqrt{(1+x)}}$
agora que sabemos o resultado de cada derivadas vamos substitui-las na derivada de y (I)
$\frac{dy}{dx}=\frac{(\sqrt{1+x})'(\sqrt{1-x})-(\sqrt{1-x})'(\sqrt{1+x})}{(\sqrt{1-x})^2} $
$\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{1}{2 \sqrt{1+x}}(\sqrt{1-x})-\frac{(-1)}{2 \sqrt{1+x}}(\sqrt{1+x})}{(\sqrt{1-x})^2} $
$\frac{dy}{dx}=\Big[\frac{\sqrt{1-x}}{2 \sqrt{1+x}}-\frac{(-\sqrt{1+x})}{2 \sqrt{1+x}}\Big]*\frac{1}{(\sqrt{1-x})^2} $
$\frac{dy}{dx}=\Big[\frac{\sqrt{1-x}}{2 \sqrt{1+x}}+\frac{\sqrt{1+x}}{2 \sqrt{1+x}}\Big]*\frac{1}{(\sqrt{1-x})^2} $
$\frac{dy}{dx}=\frac{\sqrt{1-x}}{2 \sqrt{1+x}(\sqrt{1-x})^2}+\frac{\sqrt{1+x}}{2 (\sqrt{1+x})^3}$
$\frac{dy}{dx}=\frac{(\sqrt{1-x})^2 + (\sqrt{1+x})^2}{2 \sqrt{1+x}(\sqrt{1-x})^3}$
$\frac{dy}{dx}=\frac{1-x + 1+x}{2 \sqrt{1+x}(\sqrt{1-x})(\sqrt{1-x})^2}$
$\frac{dy}{dx}=\frac{2}{2 \sqrt{1+x}\sqrt{1-x}(1-x)}$
$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\Big(\sqrt{(1+x)(1-x)}\Big)(1-x)}$
$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{(1-x)\sqrt{1-x^2}}$
${\large {\bf 5) f(r)= \pi r^2}}$
$\frac {df}{dr}= 2 \pi r$
${\large {\bf 6) f(x)= 14 - \frac {x^-³}{2}}}$
$\frac {df}{dx}= - (-3) \frac {x^-4}{2}$
$\frac {df}{dx}= \frac {3}{2x^4}$
1- $(f + g)'=f ' + g'$
2- $(c*f)' = c * f '$
3- $(f *g)' = f ' * g + f * g' $(regra do produto)
4- ($\frac {f}{g}$)' = $\frac{f '*g - f * g'}{(g)^2}$ (regra do quociente)
5- $(f(g(x)))'= f '(g(x))*g'(x)$ (regra da cadeia)
Calcule as derivadas das expressões abaixo, usando as formulas de derivação:
1- ${\large {\bf y= (x²-a²)^5}}$
Usa se a regra da cadeia(composta)
$\frac{dy}{dx}= 5(x²-a²)^4(2x)$
$\frac{dy}{dx}= 10x(x²-a²)^4$
2-${\large {\bf y=(\frac{a-x}{a+x})} }$
Usa se a regra do quociente temos,
$\frac{dy}{dx}= \frac{-1(a+x)-(a-x)1}{(a+x)^2}$
$\frac{dy}{dx}= \frac{-1a-1x-1a+1x}{(a+x)^2}$
$\frac{dy}{dx}= \frac{-2a}{(a+x)^2}$
3)${\large {\bf y=(\frac{a-x}{a+x})^3 }}$
pela propriedade de potencia podemos reescrever y como:
$y=\frac{(a-x)^3}{(a+x)^3} $
Agora usamos a regra do quociente
$\frac{dy}{dx}= \frac{3(a-x)^2(-1)(a+x)^3 - (a-x)^3(3)(a+x)^2(1) }{((a+x)^3)^2}$
$\frac{dy}{dx}= \frac{-3(a-x)^2(a+x)^3 - 3(a-x)^3(a+x)^2 }{(a+x)^6}$
colocamos em evidencia $(a-x)^2(a+x)^2$ no denominador, temos:
$\frac{dy}{dx}= \frac{(a-x)^2(a+x)^2(-3(a+x) - 3(a-x)}{(a+x)^6}$
$\frac{dy}{dx}= \frac{(a-x)^2(-3(a+x) - 3(a-x)}{(a+x)^4}$
$\frac{dy}{dx}= \frac{(a-x)^2(-3a-3x- 3a+3x)}{(a+x)^4}$
$\frac{dy}{dx}= \frac{(a-x)^2(-3a-3a)}{(a+x)^4}$
$\frac{dy}{dx}= \frac{-6a(a-x)^2}{(a+x)^4}$
4)${\large {\bf y=\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}} }$
Pelas propriedades de radiciação temos que
$y=\frac{\sqrt{1+x}}{\sqrt{1-x}} $
Assim ao aplicarmos a regra do quociente para derivação obtemos
(I)$\frac{dy}{dx}=\frac{(\sqrt{1+x})'(\sqrt{1-x})-(\sqrt{1-x})'(\sqrt{1+x})}{(\sqrt{1-x})^2} $
Para facilitar a desenvoltura do exercício iremos resolver as derivadas $(\sqrt{1+x})'$ e $(\sqrt{1-x})'$ separadamente.
$(\sqrt{1+x})'=((1+x)^\frac{1}{2})'= \frac{1}{2}(1+x)^\frac{-1}{2}(1)= \frac{1}{2(1+x)^\frac{1}{2}}=\frac{1}{2* \sqrt{(1+x)}}$
agora que sabemos o resultado de cada derivadas vamos substitui-las na derivada de y (I)
$\frac{dy}{dx}=\frac{(\sqrt{1+x})'(\sqrt{1-x})-(\sqrt{1-x})'(\sqrt{1+x})}{(\sqrt{1-x})^2} $
$\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{1}{2 \sqrt{1+x}}(\sqrt{1-x})-\frac{(-1)}{2 \sqrt{1+x}}(\sqrt{1+x})}{(\sqrt{1-x})^2} $
$\frac{dy}{dx}=\Big[\frac{\sqrt{1-x}}{2 \sqrt{1+x}}-\frac{(-\sqrt{1+x})}{2 \sqrt{1+x}}\Big]*\frac{1}{(\sqrt{1-x})^2} $
$\frac{dy}{dx}=\Big[\frac{\sqrt{1-x}}{2 \sqrt{1+x}}+\frac{\sqrt{1+x}}{2 \sqrt{1+x}}\Big]*\frac{1}{(\sqrt{1-x})^2} $
$\frac{dy}{dx}=\frac{\sqrt{1-x}}{2 \sqrt{1+x}(\sqrt{1-x})^2}+\frac{\sqrt{1+x}}{2 (\sqrt{1+x})^3}$
$\frac{dy}{dx}=\frac{(\sqrt{1-x})^2 + (\sqrt{1+x})^2}{2 \sqrt{1+x}(\sqrt{1-x})^3}$
$\frac{dy}{dx}=\frac{1-x + 1+x}{2 \sqrt{1+x}(\sqrt{1-x})(\sqrt{1-x})^2}$
$\frac{dy}{dx}=\frac{2}{2 \sqrt{1+x}\sqrt{1-x}(1-x)}$
$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\Big(\sqrt{(1+x)(1-x)}\Big)(1-x)}$
$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{(1-x)\sqrt{1-x^2}}$
${\large {\bf 5) f(r)= \pi r^2}}$
$\frac {df}{dr}= 2 \pi r$
${\large {\bf 6) f(x)= 14 - \frac {x^-³}{2}}}$
$\frac {df}{dx}= - (-3) \frac {x^-4}{2}$
$\frac {df}{dx}= \frac {3}{2x^4}$
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