Teorema do Sanduíche (limites)

Sejam f, g e h: x → R tais que f(x) ≤ h(x) ≤ g(x), ∀ x ∈ X e a ∈ X'. se limite de f for L e limite de g for L, então limite de h também será L.

DEMONSTRAÇÃO

Se lim f = L, então ∀ ε > 0, ∃ δ > 0, tal que 0 < |x - a| < δ ↔ |f - L| < ε  ↔  L - ε < f < L + ε.
Se lim g = L, então ∀ ε > 0, ∃ δ > 0, tal que 0 < |x - a| < δ ↔ |g - L| < ε  ↔ L - ε < g < L + ε.

Dai,  f(x)  ≤  h(x) ≤  g(x)
 L - ε <  f(x)  ≤ h(x)  ≤  g(x) < L + ε.
L - ε <   h(x)  < L + ε  ↔ |h - L| < ε

∴ lim h(x) = L