Exercícios de derivada por definição (Resolvido)

Galera uma pequena lista só para ressaltar o método de derivar por limite =*

1) Calcule as derivadas abaixo através da definição $ \lim_{\Delta x \to 0}\frac {f(x_0 + \Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} $

${\large a) f(x)=3x+2}$

$f(x_0 + \Delta x) = 3(x_0 + \Delta x)+2 = 3x_0 +3 \Delta x +2$
$f(x_0)=3x_0+2$
Substituindo no limite, temos:

$ \lim_{\Delta x \to 0}\frac {3x_0 +3 \Delta x +2-(3x_0+2)}{\Delta x} $

$ \lim_{\Delta x \to 0}\frac {3x_0 +3 \Delta x +2-3x_0-2}{\Delta x} $

$ \lim_{\Delta x \to 0}\frac {3 \Delta x }{\Delta x} $

$ \lim_{\Delta x \to 0}\frac {3 \Delta x }{ \Delta x} $ = 0



${\large b) f(x)=1-4x^2}$


$f(x_0 + \Delta x) =1-4(x_0 + \Delta x)^2)= 1-4(x_0^2 -2x_0 \Delta x + \Delta x ^2)= 1-4x_0^2 +8x_0 \Delta x -4 \Delta x ^2$

$f(x_0)=1-4x_0^2$

Substituindo no limite, temos:

$ \lim_{\Delta x \to 0}\frac {1-4x_0^2 +8x_0 \Delta x -4 \Delta x ^2 - (1-4x_0^2)}{\Delta x} $

$ \lim_{\Delta x \to 0}\frac {1-4x_0^2 +8x_0 \Delta x -4 \Delta x ^2 -1+4x_0^2}{\Delta x} $

$ \lim_{\Delta x \to 0}\frac {8x_0 \Delta x -4 \Delta x ^2}{\Delta x} $

$ \lim_{\Delta x \to 0}\frac {\Delta x (8x_0 -4 \Delta x)}{\Delta x} $

$ \lim_{\Delta x \to 0} (8x_0 -4 \Delta x) = (8x_0 -4x_0) = 4x_0$



${\large c) f(x) = \frac {1}{x+2}}$

Para facilitar vamos considerar x_0 = x
$f(x+ \Delta x) = \frac {1}{x + \Delta x+2}$

$f(x) = \frac {1}{x+2}$

Substituindo no limite, temos:

$ \lim_{\Delta x \to x}\frac {\frac {1}{x+ \Delta x+2} - \frac {1}{x+2}}{\Delta x} $

$ \lim_{\Delta x \to x}\big( {\frac {1}{x + \Delta x+2} - \frac {1}{x+2}}\big)* \frac {1}{\Delta x} $



${\large d) f(x)= 2x^2-x-1}$

${\large e) f(x) = 4x-3}$

${\large f) f(x) = 5-2x}$

${\large g) f(x) = x^2 - 3}$, no ponto x = 2

${\large h) f(x)= x^2+2x}$, no ponto x = 3

${\large i) f(x) = x^3}$