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Exercícios de derivada por definição (Resolvido)

Galera uma pequena lista só para ressaltar o método de derivar por limite =*

1) Calcule as derivadas abaixo através da definição \lim_{\Delta x \to 0}\frac {f(x_0 + \Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}

{\large a) f(x)=3x+2}

f(x_0 + \Delta x) = 3(x_0 + \Delta x)+2 = 3x_0 +3 \Delta x +2
f(x_0)=3x_0+2
Substituindo no limite, temos:

\lim_{\Delta x \to 0}\frac {3x_0 +3 \Delta x +2-(3x_0+2)}{\Delta x}

\lim_{\Delta x \to 0}\frac {3x_0 +3 \Delta x +2-3x_0-2}{\Delta x}

\lim_{\Delta x \to 0}\frac {3 \Delta x }{\Delta x}

\lim_{\Delta x \to 0}\frac {3 \Delta x }{ \Delta x} = 0



{\large b) f(x)=1-4x^2}


f(x_0 + \Delta x) =1-4(x_0 + \Delta x)^2)= 1-4(x_0^2 -2x_0 \Delta x + \Delta x ^2)= 1-4x_0^2 +8x_0 \Delta x -4 \Delta x ^2

f(x_0)=1-4x_0^2

Substituindo no limite, temos:

\lim_{\Delta x \to 0}\frac {1-4x_0^2 +8x_0 \Delta x -4 \Delta x ^2 - (1-4x_0^2)}{\Delta x}

\lim_{\Delta x \to 0}\frac {1-4x_0^2 +8x_0 \Delta x -4 \Delta x ^2 -1+4x_0^2}{\Delta x}

\lim_{\Delta x \to 0}\frac {8x_0 \Delta x -4 \Delta x ^2}{\Delta x}

\lim_{\Delta x \to 0}\frac {\Delta x (8x_0 -4 \Delta x)}{\Delta x}

\lim_{\Delta x \to 0} (8x_0 -4 \Delta x) = (8x_0 -4x_0) = 4x_0



{\large c) f(x) = \frac {1}{x+2}}

Para facilitar vamos considerar x_0 = x
f(x+ \Delta x) = \frac {1}{x + \Delta x+2}

f(x) = \frac {1}{x+2}

Substituindo no limite, temos:

\lim_{\Delta x \to x}\frac {\frac {1}{x+ \Delta x+2} - \frac {1}{x+2}}{\Delta x}

\lim_{\Delta x \to x}\big( {\frac {1}{x + \Delta x+2} - \frac {1}{x+2}}\big)* \frac {1}{\Delta x}



{\large d) f(x)= 2x^2-x-1}

{\large e) f(x) = 4x-3}

{\large f) f(x) = 5-2x}

{\large g) f(x) = x^2 - 3}, no ponto x = 2

{\large h) f(x)= x^2+2x}, no ponto x = 3

{\large i) f(x) = x^3}

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