Demonstração teorema 1 - funções contínuas

Teorema 1: Sejam f,g: x → R funções contínuas em a ∈ X, com f(a)<g(a). Então, existe  δ > 0, tal que ∀ x ∈ X, |x - a|<δ → f(x) < g(x). 

Prova: 

Faça ε = g(a) - c = c - f(a)

daí f(a) + ε = c = g(a) - ε

Como f é contínua, ∀ε>0, ∃ δ₁ > 0, tal que ∀ x ∈ X, |x - a|<δ₁ → |f(x) - f(a)|<ε ⇒ f(a) - ε < f(x) < f(a) + ε.
Como g é contínua, ∀ε>0, ∃ δ₂ > 0, tal que ∀ x ∈ X, |x - a|<δ₂ → |g(x) - g(a)|<ε ⇒ g(a) - ε < g(x) < g(a) + ε.

Tomando δ= min{δ₁ , δ₂}, então, ∀ x ∈ X, |x - a|<δ → f(x) < f(a) + ε = c = g(a) - ε < g(x)

Portanto |x - a|<δ ⇒ f(x) < g(x), ∀ x ∈ X.