Interpretação geométrica do quadrado da soma

Normalmente quando falamos do quadrado da soma deparamos com a seguinte afirmação:
(a+b)²=a²+2ab+b²

Ou seja o quadrado da soma resulta no quadrado do primeiro mais duas vezes o primeiro pelo segundo mais o quadrado do segundo.

Assim você para, olha e me pergunta: tudo bem, mas porque o quadrado da soma é isso?

Alguém nos observando afirma que é dessa forma porque o quadrado da soma é a multiplicação de uma soma por ela mesma, expressando-a por (a+b)*(a+b), e o resultado dela é gerado pela propriedade distributiva.

Você mesmo concordando com essa ideia ainda está instigado, ou seja, ainda questiona porque dessa forma? Da onde surgiu isso?

 Essas perguntas são normais, e fazem parte da criação e significância do conhecimento.
Para tentar ajudar recorro a geometria, e lhe questiono se nós temos um terreno quadrado, isso ocorre porque ele tem lados medindo 'a', qual é a área desse terreno?

Você me responde que basta multiplicar as medidas dos lados, resultando a*a= a²

Agora imagine que compramos mais um pedaço de terreno tanto no comprimento quanto na largura do nosso terreno de tamanho b, ficando desse forma o nosso terreno:

Imagine que eu quero calcular a área desse terreno novo, calculando somente a área nova do adicional depois somamos com a área que já conhecemos. Pra isso dividimos o terreno da seguinte forma:

Assim calculamos a área de cada pedaço multiplicando suas medidas, como podemos observar abaixo:

Portanto o terreno possui quatro partes e suas áreas estão expressadas na figura abaixo, e para obter a área total basta somar as quatro partes.

Somando todas as áreas que compõe o terreno obtemos que a área total é  a²+ba+ba+b² = a²+2ba+ b².
Olhando de outra forma o terreno total temos que os lados dele mede (a+b), e a area total podia ser calculada pela multiplicação entre os mesmos, ou seja, (a+b)*(a+b).