EQUAÇÕES DE CAUCHY - RIEMANN

Usando as partes real e imaginária de uma função complexa, podemos estabelecer um critério para decidir quando uma função ƒ não é diferenciável em um determinado ponto z₀.

IMPORTANTE: este resultado não prova se uma função ƒ é diferenciável! Ele simplesmente define quando uma função não é diferenciável num ponto z₀.

Portanto esse critério é a função obedecer as equações de Cauchy-Riemann, que se define pelo seguinte teorema:

Teorema (Equações de Cauchy-Riemann): Assuma que a função complexa ƒ = u +iv é diferenciável no ponto z₀ = x₀ + iy₀. Então as derivadas parciais de u e v em (x₀, y₀) satisfazem as equações de Cauchy-Riemann:

^∂u/_∂x(x₀,y₀) = ^∂v/_∂y(x₀,y₀)

^∂u/_∂y(x₀,y₀) = ^−∂v/_∂x(x₀,y₀)

Ou resumidamente

ux = vy e uy=-vx ( lê-se: a derivada de u em relação a x é igual a derivada de v em relação a y, e a derivada de u em relação a y é igual a menos derivada de v em relação a x).

Exemplo: mostre que a função complexa definida por f(x+iy)= x + iy não é diferenciável em nenhum ponto dos complexos, usando as equações de Cauchy-Riemann).

u é a parte real e v a parte imaginária, assim

u=2x

v=y

^∂u/_{∂x = 2}

^∂v/_{∂y = 1}

^∂u/_{∂y = 0}

^∂v/_{∂x = 0}

^∂u/_∂x = ^∂v/_{∂y ⇒ 2 = 1 (ISSO É UM ABSURDO)}

Como a função não satisfaz as equações de Cauchy-Riemann em nenhum ponto dos complexos, então f não é diferenciável em nenhum ponto.