Sinal da Tangente no Circulo Trigonométrico

O circulo trigonométrico é composto por quatro quadrantes, como podemos observar na figura abaixo:

Fig.1: Circulo Trigonométrico

Os ângulos de cada quadrante possui características similares, como por exemplos, os ângulos do primeiro quadrante(I), são aqueles ângulos x que estão compreendidos entre 0° e 90° graus (0° < x < 90°), nos quais possuem valores para seno e cosseno positivos.

Com base nisso faremos o estudo de sinal da tangente no circulo trigonométrico, ou seja, analisar se a tangente de um angulo é positiva ou negativa de acordo a posição do ângulo, no que diz respeito ao quadrante que compreende o ângulo.

Sabe-se que tangente de um ângulo x pode ser dada pela divisão do seno pelo cosseno desse ângulo:

A partir dessa relação podemos analisar a tangente.

1° Caso) Para os ângulos no quadrante I, 0° < x < 90°:

Fig.2: ângulos no primeiro quadrante

Observe que qualquer ângulo que escolhermos nesse quadrante, terá seno positivo e cosseno positivo, independente do valor que eles assumam, por exemplo:

- ângulo de 30° :

sen 30° = 0,5

cos 30° = 0,87

- ângulo de 60° :
sen 60° = 0,87
cos 60° = 0,5

OBS.: Para calcular seno, cosseno e/ou tangente de um ângulo precisamos de uma calculadora cientifica programada em graus, ou transformar o ângulo em radiano.(90°= π/2)

Então usando a relação tangente é igual a seno dividido pelo cosseno, e observando somente o sinal do seno e do cosseno podemos concluir que, nesse caso, se seno é positivo e o cosseno também é positivo, ao dividi-los temos um valor positivo, portanto a tangente de um ângulo do primeiro quadrante é positiva(Fig.3).

Fig.3

ex.: 

2° Caso) Para os ângulos no quadrante II, 90° < x < 180°:

Fig.4: ângulos no segundo quadrante

Observe que qualquer ângulo que escolhermos nesse quadrante, terá seno positivo e cosseno negativo, e observando somente o sinal do seno e do cosseno podemos concluir que, nesse caso:

Fig.5

portanto a tangente de um ângulo do segundo quadrante é negativa(Fig.5).

ex.:

3° Caso) Para os ângulos no quadrante III, 180° < x < 270°:

Fig.6: ângulos no terceiro quadrante

Observe que qualquer ângulo que escolhermos nesse quadrante, terá seno negativo e cosseno negativo, e observando somente o sinal do seno e do cosseno podemos concluir que, nesse caso:

Fig.7

portanto a tangente de um ângulo do terceiro quadrante é positiva(Fig.7).
ex.:

4° Caso) Para os ângulos no quadrante IV, 270° < x < 360°

Fig.8: ângulos no quarto quadrante

Observe que qualquer ângulo que escolhermos nesse quadrante, terá seno negativo e cosseno positivo, e observando somente o sinal do seno e do cosseno podemos concluir que, nesse caso:

Fig.9

portanto a tangente de um ângulo do quarto quadrante é negativa(Fig.9).
ex.:

OBS.:  Os ângulos 0°, 90°, 180°, 270° e 360° possui características singulares!!!

Relação Trigonométrica 05) cos (-x) = cos x

Essa não é uma demostração da relação, e sim uma explicação que esclarece o uso e a funcionalidade da relação!!

Para relações trigonométricas é essencial a ajuda do circulo trigonométrico!

"Não se assuste com os nomes esquisitos, é mais fácil que parece =)"

Fig.1: Sinal da função cosseno, e quadrantes.

O circulo trigonométrico consiste em um circulo com origem em (0,0) e raio 1, onde o eixo y representa o Seno e o eixo x representa o Cosseno. Estando também divididos em 4 quadrantes, que são contados em sentido anti-horário, e representado por números romanos I, II, III e IV (observe a figura).

Na figura levamos em consideração o Cosseno, pois queremos demostrar que cos (-x) = cos x.

Assim o Cosseno é:

- positivo para ângulos entre 0° e 90°( I quadrante) e/ou ângulos entre 270° e 360°(IV quadrante)

- negativo para ângulos entre 90° e 270° (II e III quadrantes)

(Lembrete cos 90°= cos 270°= 0)

Vamos tentar encontrar no circulo o cos (60°)

Fig.2 : Cosseno de 60°

Como podemos ver na fig.2 acima cosseno de 60° vale 0,5(1/2), a linha vermelha representa o cosseno!

Agora vamos analisar qual seria o cos(-60°), para isso precisamos entender o que é um ângulo negativo!

Olhando para o ângulo de 60° acima vemos que ele é uma abertura de 60° que inicia de 0° e corre no sentido anti-horário (contrario ao movimento do ponteiro do relógio), com BASE no circulo trigonométrico. Então como seria o ângulo de -60°????? Aaah seria uma abertura de 60° que inicia de 0° e corre no sentido horário (sentido do movimento do ponteiro do relógio). Então será que ele é o reverso do 60°?

Fig.3: Representação gráfica do angulo de -60°

Como podemos ver na figura acima cosseno de -60° vale 0,5(1/2), porque se encontra na parte negativa do circulo para seno.

Vamos então usar esse exemplo acima para entendermos a relação cos (-x) = cos x, no nosso exemplo acima(fig.2) consideramos x=60°, substituindo x na relação obtemos:

cos (60°) = cos (-60°) ☚ Isto está certo?

substituindo os valores de cos60°(fig.2) e cos(-60°)(fig.3), temos:

cos (60°) = cos (-60°)

0,5 = 0,5

Então vimos que a relação é verdadeira!!

Esse é o print de uma animação do Geogebra, no qual você pode variar o angulo e observar o que acontece com o mesmo,(Não consegui integrar a animação no post :'( :'( :'( , mas basta clicar ☞ #explorandoocosseno , na animação basta clicar no ponto G na borda da circunferência e arrastar para alterar o valor do angulo =))

Gentee para tudo!!!(BAPHO :O ) esse é o Geogebra ☝  um software magnifico que facilita muito as suas percepções matemática e afins, dá para brincar muitooooooo!!

Para quem quer conhecer o Geogebra acesse http://www.geogebra.org/ , basicamente é um soft livre e multiplataforma com varias possibilidades. =)

DUVIDAS, CRITICAS E SUGESTÕES é só comentar!! 

Este consiste em esclarecer a relação trigonométrica, facilitando o parecer do seu uso, não sendo uma formal demonstração matemática rígida!

Relação Trigonométrica 04) sen (-x) = - sen x

Essa não é uma demostração da relação, e sim uma explicação que esclarece o uso e a funcionalidade da relação!!

Para relações trigonométricas é essencial a ajuda do circulo trigonométrico!

"Não se assuste com os nomes esquisitos, é mais fácil que parece =)"

O circulo trigonométrico consiste em um circulo com origem em (0,0) e raio 1, onde o eixo y representa o Seno e o eixo x representa o Cosseno.

Na figura levamos em consideração o Seno, pois queremos demostrar que sen (-x) = - sen x.

Assim o Seno é:

- positivo para ângulos entre 0° e 180°

- negativo para ângulos entre 180° e 360°

(Lembrete sen 0°= sen 180°= sen 360° = 0)

Vamos tentar encontrar no circulo o sen(30°)

fig.2

Como podemos ver na figura acima seno de 30° vale 1/2, a linha vermelha representa o seno!

Agora vamos analisar qual seria o sen(-30°), para isso precisamos entender o que é um ângulo negativo!

Olhando para o ângulo de 30° acima vemos que ele é uma abertura de 30° que inicia de 0° e corre no sentido anti-horário (contrario ao movimento do ponteiro do relógio), com BASE no circulo trigonométrico. Então como seria o ângulo de -30°????? Aaah seria uma abertura de 30° que inicia de 0° e corre no sentido horário (sentido do movimento do ponteiro do relógio). Então será que ele é o reverso do 30°?

fig.3

Como podemos ver na figura acima seno de -30° vale -1/2, porque se encontra na parte negativa do circulo para seno.

Vamos então usar esse exemplo acima para entendermos a relação sen (-x) = - sen x, no nosso exemplo acima(fig.2) consideramos x=30°, substituindo x na relação obtemos:

sen (-30°) = - sen 30° ☚ Isto está certo?

substituindo os valores de sen30°(fig.2) e sen(-30°)(fig.3), temos:

sen (-30°) = - (sen 30°)

-0,5 = -(0,5)

Então vimos que a relação é verdadeira!!

Esse é o print de uma animação do Geogebra, no qual você pode variar o angulo e observar o que acontece com o mesmo,(Não consegui integrar a animação no post :'( :'( :'( , mas basta clicar ☞ #explorandooseno , na animação basta clicar no ponto C na borda da circunferência e arrastar para alterar o angulo =))

Gentee para tudo!!!(BAPHO) :O esse é o Geogebra ☝  um software magnifico que facilita muito as suas percepções matemática e afins, dá para brincar muitooooooo!!

Para quem quer conhecer o Geogebra acesse http://www.geogebra.org/ , um soft livre e multiplataforma com varias possibilidades. =)

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Este consiste em esclarecer a relação trigonométrica, facilitando o parecer do seu uso, não sendo uma formal demonstração matemática rígida!

Resposta do Desafio Lógico

Resposta: o homem é baixinho, e só consegue apertar o botão do 10°andar. Por isso tem que terminar a subida pelas escadas...

Para quem não lembra esse é o desafio !!

=*