Sinal da Tangente no Circulo Trigonométrico

O circulo trigonométrico é composto por quatro quadrantes, como podemos observar na figura abaixo:

Fig.1: Circulo Trigonométrico

Os ângulos de cada quadrante possui características similares, como por exemplos, os ângulos do primeiro quadrante(I), são aqueles ângulos x que estão compreendidos entre 0° e 90° graus (0° < x < 90°), nos quais possuem valores para seno e cosseno positivos.

Com base nisso faremos o estudo de sinal da tangente no circulo trigonométrico, ou seja, analisar se a tangente de um angulo é positiva ou negativa de acordo a posição do ângulo, no que diz respeito ao quadrante que compreende o ângulo.

Sabe-se que tangente de um ângulo x pode ser dada pela divisão do seno pelo cosseno desse ângulo:

A partir dessa relação podemos analisar a tangente.

1° Caso) Para os ângulos no quadrante I, 0° < x < 90°:

Fig.2: ângulos no primeiro quadrante

Observe que qualquer ângulo que escolhermos nesse quadrante, terá seno positivo e cosseno positivo, independente do valor que eles assumam, por exemplo:

- ângulo de 30° :

sen 30° = 0,5

cos 30° = 0,87

- ângulo de 60° :
sen 60° = 0,87
cos 60° = 0,5

OBS.: Para calcular seno, cosseno e/ou tangente de um ângulo precisamos de uma calculadora cientifica programada em graus, ou transformar o ângulo em radiano.(90°= π/2)

Então usando a relação tangente é igual a seno dividido pelo cosseno, e observando somente o sinal do seno e do cosseno podemos concluir que, nesse caso, se seno é positivo e o cosseno também é positivo, ao dividi-los temos um valor positivo, portanto a tangente de um ângulo do primeiro quadrante é positiva(Fig.3).

Fig.3

ex.: 

2° Caso) Para os ângulos no quadrante II, 90° < x < 180°:

Fig.4: ângulos no segundo quadrante

Observe que qualquer ângulo que escolhermos nesse quadrante, terá seno positivo e cosseno negativo, e observando somente o sinal do seno e do cosseno podemos concluir que, nesse caso:

Fig.5

portanto a tangente de um ângulo do segundo quadrante é negativa(Fig.5).

ex.:

3° Caso) Para os ângulos no quadrante III, 180° < x < 270°:

Fig.6: ângulos no terceiro quadrante

Observe que qualquer ângulo que escolhermos nesse quadrante, terá seno negativo e cosseno negativo, e observando somente o sinal do seno e do cosseno podemos concluir que, nesse caso:

Fig.7

portanto a tangente de um ângulo do terceiro quadrante é positiva(Fig.7).
ex.:

4° Caso) Para os ângulos no quadrante IV, 270° < x < 360°

Fig.8: ângulos no quarto quadrante

Observe que qualquer ângulo que escolhermos nesse quadrante, terá seno negativo e cosseno positivo, e observando somente o sinal do seno e do cosseno podemos concluir que, nesse caso:

Fig.9

portanto a tangente de um ângulo do quarto quadrante é negativa(Fig.9).
ex.:

OBS.:  Os ângulos 0°, 90°, 180°, 270° e 360° possui características singulares!!!