O circulo trigonométrico é composto por quatro quadrantes, como podemos observar na figura abaixo:
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| Fig.1: Circulo Trigonométrico |
Os ângulos de cada quadrante possui características similares, como por exemplos, os ângulos do primeiro quadrante(I), são aqueles ângulos x que estão compreendidos entre 0° e 90° graus (0° < x < 90°), nos quais possuem valores para seno e cosseno positivos.
Com base nisso faremos o estudo de sinal da tangente no circulo trigonométrico, ou seja, analisar se a tangente de um angulo é positiva ou negativa de acordo a posição do ângulo, no que diz respeito ao quadrante que compreende o ângulo.
Sabe-se que tangente de um ângulo x pode ser dada pela divisão do seno pelo cosseno desse ângulo:
A partir dessa relação podemos analisar a tangente.
1° Caso) Para os ângulos no quadrante I, 0° < x < 90°:
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| Fig.2: ângulos no primeiro quadrante |
Observe que qualquer ângulo que escolhermos nesse quadrante, terá seno positivo e cosseno positivo, independente do valor que eles assumam, por exemplo:
- ângulo de 30° :
sen 30° = 0,5
cos 30° = 0,87
- ângulo de 60° :
sen 60° = 0,87
cos 60° = 0,5
OBS.: Para calcular seno, cosseno e/ou tangente de um ângulo precisamos de uma calculadora cientifica programada em graus, ou transformar o ângulo em radiano.(90°= π/2)
Então usando a relação tangente é igual a seno dividido pelo cosseno, e observando somente o sinal do seno e do cosseno podemos concluir que, nesse caso, se seno é positivo e o cosseno também é positivo, ao dividi-los temos um valor positivo, portanto a
tangente de um ângulo do primeiro quadrante é positiva(Fig.3).
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| Fig.3 |
ex.:
2° Caso) Para os ângulos no quadrante II, 90° < x < 180°:
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| Fig.4: ângulos no segundo quadrante |
Observe que qualquer ângulo que escolhermos nesse quadrante, terá seno positivo e cosseno negativo, e observando somente o sinal do seno e do cosseno podemos concluir que, nesse caso:
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| Fig.5 |
portanto a tangente de um ângulo do segundo quadrante é negativa(Fig.5).
ex.:
3° Caso) Para os ângulos no quadrante III, 180° < x < 270°:
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| Fig.6: ângulos no terceiro quadrante |
Observe que qualquer ângulo que escolhermos nesse quadrante, terá seno negativo e cosseno negativo, e observando somente o sinal do seno e do cosseno podemos concluir que, nesse caso:
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| Fig.7 |
portanto a
tangente de um ângulo do terceiro quadrante é positiva(Fig.7).
ex.:
4° Caso) Para os ângulos no quadrante IV, 270° < x < 360°
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| Fig.8: ângulos no quarto quadrante |
Observe que qualquer ângulo que escolhermos nesse quadrante, terá seno negativo e cosseno positivo, e observando somente o sinal do seno e do cosseno podemos concluir que, nesse caso:
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| Fig.9 |
portanto a
tangente de um ângulo do quarto quadrante é negativa(Fig.9).
ex.:
OBS.: Os ângulos 0°, 90°, 180°, 270° e 360° possui características singulares!!!
