Definição de Limite

Considere X ≤ R um conjunto, f: X → R uma função e a ∈ X' um ponto de acumulação de X, isto é a ∈ X.

 Def.1: Dizemos que o número real L ∈ R é o limite de f(x), quando x tende para a, e escrevemos:
,
se dado ε > 0, arbitrariamente, existe δ > 0, tal que para todo x ∈ X, 0<|x-a|<δ ↔ |f(x) - L| < ε .

Equivalentemente

a - δ < x < a + δ  ↔ L - ε < f(x) < L + ε

Crivo de Eratóstenes

O crivo de eratóstenes é utilizado para determinar os números primos presente numa lista de números fixados.

Estabelecemos uma lista de números de 1 a 100, para exemplificar o método

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
31	32	33	34	35	36	37	38	39	40
41	42	43	44	45	46	47	48	49	50
51	52	53	54	55	56	57	58	59	60
61	62	63	64	65	66	67	68	69	70
71	72	73	74	75	76	77	78	79	80
81	82	83	84	85	86	87	88	89	90
91	92	93	94	95	96	97	98	99	100

Lembrete: o 1 não é primo, pois seu único divisor é ele mesmo. Logo o cortamos da tabela.

o método consiste em cortar os números que não são primos, até restar somente os números primos.

Para isso pegasse o primeiro primo e elimina todos os seus múltiplos da lista, assim obtemos:

	2	3		5		7		9
11		13		15		17		19
21		23		25		27		29
31		33		35		37		39
41		43		45		47		49
51		53		55		57		59
61		63		65		67		69
71		73		75		77		79
81		83		85		87		89
91		93		95		97		99

observe que o único numero primo par é o 2.

o próximo primo é o numero 3, assim nós o mantemos e eliminamos todos os múltiplos de 3

	2	3		5		7
11		13				17		19
		23		25				29
31				35		37
41		43				47		49
		53		55				59
61				65		67
71		73				77		79
		83		85				89
91				95		97

e assim sucessivamente até chegar em um primo que não possui múltiplos na lista, cortando os múltiplos de 5:

	2	3		5		7
11		13				17		19
		23						29
31						37
41		43				47		49
		53						59
61						67
71		73				77		79
		83						89
91						97

cortando os múltiplos de 7:

	2	3		5		7
11		13				17		19
		23						29
31						37
41		43				47
		53						59
61						67
71		73						79
		83						89
						97

Depois do 7, o próximo primo é o número 11, e na lista já não contém nenhum múltiplo de 11, assim termina-se o processo do crivo e os números restantes na lista são os primos de 1 a 100.

portanto os primos entre 1 e 100 são: {2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97}.

Interpretação geométrica do quadrado da diferença

Quadrado da diferença é um dos produtos notáveis, geralmente nos é apresentado como:
(a-b)²=a²-2ab+b²

muitas vezes acabamos por decorar e assumir como uma regra pronta, porem a interpretação geométrica nos ajuda a enxergar esse produto de uma forma diferente.

Como o quadrado da diferença é o produto: (a-b)*(a-b), podemos imagina-lo como a área de um paralelogramo, para ser mais especifico um quadrado como vemos a seguir, com lados medindo 'a':

agora pense que por algum motivo vamos retirar um tamanho 'b' de ambos os lados, dessa forma

assim pensamos que partimos o quadrado inicial em três partes, logo teríamos três áreas

porem observe que ao retirar a área ab duas vezes tiramos um mesmo pedaço duas vezes que é b², assim devemos acrescenta-lo.

Portanto tínhamos uma área a² e tiramos 2 vezes a área ab, mas devemos somar a área b² que tínhamos eliminado duas vezes, sistematizando matematicamente ao fazer a²-2*ab+b² sobrou somente a área (a-b)².

Resultando no quadrado da diferença.

ENEM 2015 resolvido - matemática #parte8

QUESTÃO 179
Cinco amigos marcaram uma viagem à praia em
dezembro. Para economizar, combinaram de ir num
único carro. Cada amigo anotou quantos quilômetros seu
carro fez, em média, por litro de gasolina, nos meses de
setembro, outubro e novembro. Ao final desse trimestre,
calcularam a média dos três valores obtidos para
escolherem o carro mais econômico, ou seja, o que teve
a maior média. Os dados estão representados na tabela:

Carro	Desempenho médio mensal (km/litro)
	Setembro	Outubro	Novembro
I	6,2	9,0	9,3
II	6,7	6,8	9,5
III	8,3	8,7	9,0
IV	8,5	7,5	8,5
V	8,0	8,0	8,0

Qual carro os amigos deverão escolher para a viagem?
A) I
B) II
C) III
D) IV
E) V

RESOLUÇÃO

Temos que calcular a média de cada carro para saber qual é mais econômico. Neste caso a média de cada carro consiste em somar os valores dos três meses e dividir por três:

Carro I -> (6,2+9,0+9,3)/3= 24,5/3= 8,17
Carro II -> (6,7+6,8+9,5)/3= 23/3=  7,67
Carro III -> (8,3+8,7+9,0)/3= 26/3= 8,67
Carro IV -> (8,5+7,5+8,5)/3= 24,5/3= 8,17
Carro V -> (8,0+8,0+8,0)/3= 24/3= 8

A média maior representa o carro mais econômico, neste caso o carro III que fez em média 8,67 km/litro.