Regra geral das cônicas

Cônicas são obtidas através da interseção de um plano convenientemente escolhido com uma superfície cônica.

assim temos 4 tipos de cônicas: parábola, circunferência, elipse e hipérbole.

Normalmente temos dois casos quando a cônica depende de x ou quando a cônica depende de y, não variando muito de um para outro, dando para entender facilmente a relação.

OBS.: Em todos os casos $x_0$ e $y_0$ são as coordenadas do centro, exceto na parábola que são as coordenadas do vértice.

1- Parábola

Caso 1: Parábola com eixo de simetria paralelo ao eixo x.
$(x - x_0)^2=4py$

Caso 2: Parábola com eixo de simetria paralelo ao eixo y.
$(y - y_0)^2=4px$

2- Circunferência

$(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 = r^2$

3- Elipse

Caso 1: Focos no eixo x, ou seja, o semi-eixo maior da elipse é paralelo ao eixo x.
$\frac {(x - x_0)^2}{a^2} + \frac{(y - y_0)^2}{b^2} = 1$

Caso 2: Focos no eixo y, ou seja, o semi-eixo maior da elipse é paralelo ao eixo y.
$\frac {(x - x_0)^2}{b^2} + \frac{(y - y_0)^2}{a^2} = 1$

Uma associação para melhor interpretação, é lembrar que o tamanho do semi-eixo maior é representado pela letra "a", assim se a elipse tiver o semi-eixo em relação a x, na regra geral teremos x dividido por a, ou se a elipse tiver o semi-eixo em relação a y, na regra geral teremos y dividido por a.

4- Hipérbole

Caso 1:Focos no eixo x, ou paralelo ao eixo x.
$\frac {(x - x_0)^2}{a^2} - \frac{(y - y_0)^2}{b^2} = 1$

Caso 2:Focos no eixo y, ou paralelo ao eixo y.
$\frac {(y - y_0)^2}{a^2} - \frac{(x - x_0)^2}{b^2} = 1$

Exercícios de derivada por definição (Resolvido)

Galera uma pequena lista só para ressaltar o método de derivar por limite =*

1) Calcule as derivadas abaixo através da definição $ \lim_{\Delta x \to 0}\frac {f(x_0 + \Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} $

${\large a) f(x)=3x+2}$

$f(x_0 + \Delta x) = 3(x_0 + \Delta x)+2 = 3x_0 +3 \Delta x +2$
$f(x_0)=3x_0+2$
Substituindo no limite, temos:

$ \lim_{\Delta x \to 0}\frac {3x_0 +3 \Delta x +2-(3x_0+2)}{\Delta x} $

$ \lim_{\Delta x \to 0}\frac {3x_0 +3 \Delta x +2-3x_0-2}{\Delta x} $

$ \lim_{\Delta x \to 0}\frac {3 \Delta x }{\Delta x} $

$ \lim_{\Delta x \to 0}\frac {3 \Delta x }{ \Delta x} $ = 0



${\large b) f(x)=1-4x^2}$


$f(x_0 + \Delta x) =1-4(x_0 + \Delta x)^2)= 1-4(x_0^2 -2x_0 \Delta x + \Delta x ^2)= 1-4x_0^2 +8x_0 \Delta x -4 \Delta x ^2$

$f(x_0)=1-4x_0^2$

Substituindo no limite, temos:

$ \lim_{\Delta x \to 0}\frac {1-4x_0^2 +8x_0 \Delta x -4 \Delta x ^2 - (1-4x_0^2)}{\Delta x} $

$ \lim_{\Delta x \to 0}\frac {1-4x_0^2 +8x_0 \Delta x -4 \Delta x ^2 -1+4x_0^2}{\Delta x} $

$ \lim_{\Delta x \to 0}\frac {8x_0 \Delta x -4 \Delta x ^2}{\Delta x} $

$ \lim_{\Delta x \to 0}\frac {\Delta x (8x_0 -4 \Delta x)}{\Delta x} $

$ \lim_{\Delta x \to 0} (8x_0 -4 \Delta x) = (8x_0 -4x_0) = 4x_0$



${\large c) f(x) = \frac {1}{x+2}}$

Para facilitar vamos considerar x_0 = x
$f(x+ \Delta x) = \frac {1}{x + \Delta x+2}$

$f(x) = \frac {1}{x+2}$

Substituindo no limite, temos:

$ \lim_{\Delta x \to x}\frac {\frac {1}{x+ \Delta x+2} - \frac {1}{x+2}}{\Delta x} $

$ \lim_{\Delta x \to x}\big( {\frac {1}{x + \Delta x+2} - \frac {1}{x+2}}\big)* \frac {1}{\Delta x} $



${\large d) f(x)= 2x^2-x-1}$

${\large e) f(x) = 4x-3}$

${\large f) f(x) = 5-2x}$

${\large g) f(x) = x^2 - 3}$, no ponto x = 2

${\large h) f(x)= x^2+2x}$, no ponto x = 3

${\large i) f(x) = x^3}$