Questão 180 #ENEM2016

A permanência de um gerente em uma empresa está condicionada à sua produção no semestre. Essa produção é avaliada pela média do lucro mensal do semestre. Se a média for, no mínimo, de 30 mil reais, o gerente permanece no cargo, caso contrário, ele será despedido. O quadro mostra o lucro mensal, em milhares de reais, dessa empresa, de janeiro a maio do ano em curso.

http://download.inep.gov.br/educacao_basica/enem/provas/2016/CAD_ENEM_2016_DIA_2_05_AMARELO.pdf

Qual deve ser o lucro mínimo da empresa no mês de junho, em milhares de reais, para o gerente continuar no cargo no próximo semestre? 

A) 26

B) 29 

C) 30 

D) 31 

E) 35

RESOLUÇÃO

Para o gerente não ser despedido a média do lucro de 6 meses deve ser 30 mil, ou seja:

$ \frac {jan + fev + mar + abr + mai + jun}{6} = 30$

Substituindo os valores disponíveis na tabela em seu respectivo mês temos :

$ \frac {21 + 35 + 21 + 30 + 38 + jun}{6} = 30$

Como precisamos descobrir o valor de junho basta resolver a igualdade, observe:

$ \frac {21 + 35 + 21 + 30 + 38 + jun}{6} = 30$
$ 21 + 35 + 21 + 30 + 38 + jun = 30*6$
$ 21 + 35 + 21 + 30 + 38 + jun = 30*6$
$145 + jun = 180$
$ jun = 180 -145$
$ jun = 35$

Portanto o lucro minimo em junho deve ser de 35 mil.

Questão 179 #ENEM2016

Para garantir a segurança de um grande evento público que terá início às 4 h da tarde, um organizador precisa monitorar a quantidade de pessoas presentes em cada instante. Para cada 2 000 pessoas se faz necessária a presença de um policial. Além disso, estima-se uma densidade de quatro pessoas por metro quadrado de área de terreno ocupado. Às 10 h da manhã, o organizador verifica que a área de terreno já ocupada equivale a um quadrado com lados medindo 500 m. Porém, nas horas seguintes, espera-se que o público aumente a uma taxa de 120 000 pessoas por hora até o início do evento, quando não será mais permitida a entrada de público. Quantos policiais serão necessários no início do evento para garantir a segurança? 

A) 360 

B) 485 

C) 560 

D) 740 

E) 860 

RESOLUÇÃO

Sabemos que é:

1 policial para 2000 pessoas

4 pessoas por metro quadrado

10hrs temos um quadrado de lados 500m ocupado

e aumenta por hora 120000 pessoas

Seguindo essas informações devemos primeiro calcular a área do quadrado já ocupado e multiplicar por 4, para saber quantas pessoas já tem no evento as 10hrs, logo a área do quadrado é dada por 500*500=250000m², e

250000*4=1000000 pessoas.

Ainda temos que a cada hora chega mais 120000 até o inicio do evento, como são 10hrs e o evento começa as 16hrs, temos que serão 120000*6= 720000 pessoas que ainda chegaram.

Juntando as pessoas presentes (1000000) com as que chegaram (720000), temos que o evento poderá receber 1720000 pessoas.

Por fim, como queremos saber quantos policiais serão necessários para garantir a segurança, então basta dividir 1720000 por 2000, pois a cada 2000 pessoas deve se ter 1 policial.

$\frac {1720000}{2000} = 860 $ policiais

Questão 158 #ENEM2016

O ábaco é um antigo instrumento de cálculo que usa notação posicional de base dez para representar números naturais. Ele pode ser apresentado em vários modelos, um deles é formado por hastes apoiadas em uma base. Cada haste corresponde a uma posição no sistema decimal e nelas são colocadas argolas; a quantidade de argolas na haste representa o algarismo daquela posição. Em geral, colocam-se adesivos abaixo das hastes com os símbolos U, D, C, M, DM e CM que correspondem, respectivamente, a unidades, dezenas, centenas, unidades de milhar, dezenas de milhar e centenas de milhar, sempre começando com a unidade na haste da direita e as demais ordens do número no sistema decimal nas hastes subsequentes (da direita para esquerda), até a haste que se encontra mais à esquerda. 

Entretanto, no ábaco da figura, não seguiram a disposição usual.

http://download.inep.gov.br/educacao_basica/enem/provas/2016/CAD_ENEM_2016_DIA_2_05_AMARELO.pdf

Nessa disposição, o número que está representado na figura é:

A) 46 171. 

B) 147 016. 

C) 171 064. 

D) 460 171. 

E) 610 741.

RESOLUÇÃO)

Indiferente da disposição no ábaco, U ainda representa unidades, logo precisamos ordenar o numero representado na figura. O numero que buscamos é formado CM,DM,M,C,D,U nesta ordem, agora basta identificar o valor de cada um, como segue:

(Lembre-se cada argola vale 1)

CM=4

DM=6

M=0

C=1

D=7

U=1

portanto a resposta é 460171.

CONJUNTO DE DIVISORES

O ensino de divisores de um número acontece intuitivamente no primário, onde sabe-se que um número é divisor de outro, se ele dividir o mesmo com o resto zero.
E assim os alunos passam a se deparam com exercícios diversos para encontrar o conjunto de divisores de um numero, por exemplo, quais são os divisores de 20? O aluno por intuição e tentativa e erro me responde que o conjunto de divisores de 20 é D(20): {1,2,4,5,10,20}. E se o exercício me pedisse os divisores de 600? Seria demasiado tempo e esforço exigido do aluno sem fazer um desenvolvimento cognitivo significante para o mesmo, então pensado nisso esse texto vem explicitar um método fácil e assertivo no que envolve determinar o conjunto de divisores, usando a fatoração.

Vamos seguir com o exemplo, e encontrar o conjunto de divisores de 600:
 1° Passo) Fatorar o 600:

600 |2
300 |2
150 |2
75   |3
25   |5
5     |5
1

2° Passo) Vamos traçar uma outra linha nessa fatoração em acrescentar o 1, conforme a seguir:

           |1
600 |2 |
300 |2 |
150 |2 |
75   |3 |
25   |5 |
5     |5 |
1

Essa nova linha representará os divisores de 600, por isso colocamos o 1 que é o primeiro divisor de todo e qualquer numero.

3° Passo) Multiplicar o 1 pelo primeiro fator de 600, o resultado coloca-se de frente com o fator, veja a representação a seguir:

Agora como o próximo fator ainda é 2, eu não preciso multiplicar o 1 novamente porque vai gerar o mesmo divisor então quando o fator (da fatoração de 600) não muda, vamos multiplicar por ele os novos divisores encontrados. No nosso exemplo o novo divisor encontrado foi 2 então mulplicando obtemos:

           |1
600 |2 |2
300 |2 |4
150 |2 |
75   |3 |
25   |5 |
5     |5 |
1

Como o próximo fator ainda não muda, ou seja, continua sendo o 2, então multiplicamos o 4 por 2, obtendo: 

           |1
600 |2 |2
300 |2 |4
150 |2 |8
75   |3 |
25   |5 |
5     |5 |
1

4° Passo) Observe que agora o nosso fator muda, antes tínhamos o fator 2, e agora é o fator 3, quando o fator muda(se altera), devemos multiplicar todos os divisores já encontrado por esse fator. No nosso exemplo, vamos fazer 1*3, 2*3, 4*3 e 8*3, observe abaixo:

           |1
600 |2 |2
300 |2 |4
150 |2 |8
75   |3 |3, 6, 12, 24
25   |5 |
5     |5 |
1

Devemos repetir o passo 3 e 4 até multiplicarmos por todos os fatores, veja:

o próximo fator do nosso exemplo não será mais o 3, então temos que repetir o processo do 4°passo, multiplicando todos os divisores encontrados por 5.

           |1
600 |2 |2
300 |2 |4
150 |2 |8
75   |3 |3, 6, 12, 24
25   |5 |5, 10, 20, 40, 15, 30, 60, 120
5     |5 |
1

agora o próximo fator do nosso exemplo continua sendo o 5, então temos que repetir o processo do 3°passo, multiplicando só os novos divisores encontrados por 5, ou seja, a ultima linha dos divisores que contém os números 5, 10, 20, 40, 15, 30, 60, 120. Obtendo:

           |1
600 |2 |2
300 |2 |4
150 |2 |8
75   |3 |3, 6, 12, 24
25   |5 |5, 10, 20, 40, 15, 30, 60, 120
5     |5 |25, 50, 100, 200, 75, 150, 300, 600
1

5° Passo) Organizar os divisores obtidos em forma de conjunto de divisores e em ordem crescente.
Portanto os divisores de 600 são D(600)=1,2,3,4,5,6,8,10,12,15,20,24,25,30,40,50,60,75,100,120,150,200,300,600}.


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Se você é professor ensine pro seus alunos, facilita o aprendizado e diminui o receio dos alunos com a matéria.
Porque a matemática não é difícil, e sim mal compreendida(ou apresentada).