Teorema da Permanência do Sinal (Limites)

Teorema : Seja f, g: x ≤ R → R e a ∈ X com limite de f(x) sendo L e limite de g(x) sendo M. Se L < M, então ∀ x ∈ X, ∃ δ > 0, tal que 0 < |x - a| < δ ↔ f(x) < g(x).

DEMONSTRAÇÃO

Defina K=(M+L)/2 e considere ε = M - K = K - L

Como lim f = L, ∀ ε > 0, ∃ δ > 0, ∀ x ∈ X, tal que 0 < |x - a| < δ → |f - L| < ε ↔ L - ε < f(x) < L + ε. 

Como lim g= M, ∀ ε > 0, ∃ δ >0, ∀x ∈ X, tal que 0 < |x - a| < δ → |g - M| < ε ↔ M - ε < g(x) < M+ ε 

Daí
 ε= M - K → K= M - ε → K < g(x) 
 ε= K - L → K= ε + L → K >  f(x)

Então f(x) < K < g(x) 

∴f(x) < g(x).

COROLÁRIO 1: Se limite de f(x), quando x tende à a for L, então ∃ δ >0, tal que ∀x ∈ X, 0< |x - a| < δ → f(x) < M.

COROLÁRIO 2: Sejam f,g: x → R  e a ∈ X'. Se o limite de f(x), quando x tende à a, for L e o limite de g(x), quando x tende à a for M, e ainda f(x)<g(x) então L ≤ M.

prova: suponha, por absurdo, que L>M, isto é, M<1, daí pelo teorema da permanência do sinal, g(x)<f(x), o que é impossível, assim L ≤  M